ଘାତର ଖେଳ — Textbook

2. ଘାତର ଖେଳ (POWER PLAY)

2.1 ଘାତଖେଳର ଅଭିଜ୍ଞତା

ଏକ ଅସମ୍ଭବ ପ୍ରୟାସ !

ଖଣ୍ଡିଏ କାଗଜ ଫର୍ଦ୍ଦ ନିଅ । ଏହାକୁ ଗୋଟିଏ ଥର ଭାଙ୍ଗ । ପୁଣି ଏହାକୁ ବାରମ୍ବାର ଭାଙ୍ଗ ।

? ତୁମେ ଏହାକୁ ବାରମ୍ବାର କେତେଥର ଭାଙ୍ଗିପାରିବ ?

ଇତୁ କହିଲା, “ମୁଁ ଶୁଣିଛି ଯେ ଗୋଟିଏ ଫର୍ଦ୍ଦ କାଗଜକୁ ସାତଥରରୁ ଅଧିକ ଥର ଭଙ୍ଗାଯାଇପାରିବ ନାହିଁ ।”

ରକି କହିଲା, “ଯଦି ଆମେ ଖବର କାଗଜ ବା ଟିସୁପେପର ଭଳି ପତଳା କାଗଜ ନେବା, ତାହେଲେ କ'ଣ ହେବ ?”

ଏହି ପ୍ରକ୍ରିୟାକୁ ଭିନ୍ନଭିନ୍ନ ପ୍ରକାର କାଗଜ ନେଇ ଚେଷ୍ଟାକର ଓ କ’ଣ ହେଉଛି ଦେଖ ।

[ଚିତ୍ର ବର୍ଣ୍ଣନା: ଏକ କାର୍ଟୁନ୍ ଚିତ୍ର ଯେଉଁଥିରେ ପିଲାମାନେ ଏବଂ ଏକ ପଣ୍ଡିତ ପେଚା କଥୋପକଥନ କରୁଛନ୍ତି । ପେଚାଟି କହୁଛି: "ଏହାକୁ 46 ଥର ଭାଙ୍ଗିପାରିଲେ ଏହା ଏତେ ମୋଟା ହେବ ଯେ ଏହା ଚନ୍ଦ୍ରପୃଷ୍ଠରେ ପହଞ୍ଚିପାରିବ ।", ଅନ୍ୟ ପିଲାମାନେ ଆଶ୍ଚର୍ଯ୍ୟ ହୋଇ କହୁଛନ୍ତି: "ଆଶ୍ଚର୍ଯ୍ୟ କଥା ! ମାତ୍ର 46ଥର ? ତାହେଲେ ତୁମେ 46ଥର ପରେ ଅନେକ ଶୂନକୁ ବାଦ୍ ଦେଇହେବ ।" ଏବଂ ପେଚାଟି କହୁଛି: "ଠିକ ଅଛି, ତୁମେ ନିଜେ କାହିଁକି ଖୋଜୁନାହଁ ?"]

? ଗୋଟିଏ ଫର୍ଦ୍ଦ କାଗଜକୁ ତୁମ ଇଚ୍ଛାନୁସାରେ ଯେତେଥର ଚାହୁଁଛ ସେତେଥର ଭାଙ୍ଗ କରିପାରିବ । 30 ଭାଙ୍ଗ କରିବାପରେ ଏହାର ମୋଟେଇ କେତେ ହେବ ? ଅନୁମାନ କର ।

ଆସ, ଆମେ ଦେଖିବା, ଗୋଟିଏ ଫର୍ଦ୍ଦ କାଗଜକୁ 46 ଭାଙ୍ଗ କରିବାପରେ ଏହା କେତେ ମୋଟା ହେବ । ଧରିନିଅ ଯେ ଏହି କାଗଜ ଫର୍ଦ୍ଦର ମୋଟେଇ 0.01 ସେ.ମି. ଅଟେ ।

? ନିମ୍ନ ସାରଣୀରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଭାଙ୍ଗପରେ କାଗଜ ମୋଟେଇର ତାଲିକା ଦିଆଯାଇଛି । ଲକ୍ଷ୍ୟକର ଯେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଭାଙ୍ଗପରେ ଏହାର ମୋଟେଇ ଦୁଇଗୁଣ ହେଉଛି ।

(≈ ଚିହ୍ନଟିକୁ ଆମେ ‘ପ୍ରାୟତଃ ସମାନ’ ବୋଲି ବ୍ୟବହାର କରିଥାଉ ।)

10ମ ଭାଙ୍ଗ ପରେ ମୋଟେଇ ପ୍ରାୟତଃ 1 ସେ.ମି. (1.024 ସେ.ମି.) ।

17 ଭାଙ୍ଗ ପରେ, ମୋଟେଇ ପ୍ରାୟ 131 ସେ.ମି. (4 ଫୁଟ୍ରୁ ଅଳ୍ପ ଅଧିକ)

? ବର୍ତ୍ତମାନ 30 ଭାଙ୍ଗ ଏବଂ 45 ଭାଙ୍ଗ ପରେ ମୋଟେଇ କେତେ ହେବ ବୋଲି ତୁମେ ଭାବୁଛ ? ଅନୁମାନ କର ।

ଗାଣିତିକ କଥାବାର୍ତ୍ତା

? ନିମ୍ନ ସାରଣୀଟିକୁ ପୂରଣ କର :

26 ଭାଙ୍ଗ ପରେ ମୋଟେଇ ପ୍ରାୟ 670 ମି. ଅଟେ । ବିଶ୍ୱର ସର୍ବୋଚ୍ଚ ପ୍ରାସାଦ ଦୁବାଇର ବୁର୍ଜ ଖଲିଫା 830 ମି. ଉଚ୍ଚ ଅଟେ ।

30 ଭାଙ୍ଗ ପରେ କାଗଜର ମୋଟେଇ 10.7 କି.ମି. ହେବ ଯାହାକି ଉଡ଼ାଜାହାଜ ଉଡ଼ୁଥିବା ଉଚ୍ଚତା ସହିତ ସମାନ । ମହାସାଗର ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ଗଭୀରତମ ଗଣ୍ଡ ‘ମାରିଆନା ଟ୍ରେଞ୍ଚ’ର ଗଭୀରତା 11 କି.ମି. ଅଟେ ।

ମାତ୍ର, 46 ଭାଙ୍ଗ ପରେ କାଗଜର ମୋଟେଇ 7,00,000 କି.ମି. ହେବାର ତଥ୍ୟଟି ଅବିଶ୍ୱସନୀୟ ମନେ ହୋଇପାରେ । ଏହା ‘ଗୁଣନାତ୍ମକ ବୃଦ୍ଧି’ର କ୍ଷମତା ଅଟେ । ଏହାକୁ ‘ଘାତୀୟ ବୃଦ୍ଧି’ ମଧ୍ୟ କୁହାଯାଏ । ଆସ ଏହି ବୃଦ୍ଧିକୁ ବିଶ୍ଳେଷଣ କରିବା । ଆମେ ଦେଖୁଛୁ ଯେ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ଭାଙ୍ଗପରେ ମୋଟେଇ ଦୁଇଗୁଣ ହୋଇଥାଏ ।

ଦୁଇଭାଙ୍ଗ ପରେ ମୋଟେଇରେ ହେଉଥିବା ପରିବର୍ତ୍ତନକୁ ଲକ୍ଷ୍ୟକର । ଏହା କେତେ ପରିମାଣରେ ବୃଦ୍ଧି ପାଉଛି ?

ପ୍ରତ୍ୟେକ 3 ଭାଙ୍ଗ ପରେ ମୋଟେଇ 8 ଗୁଣ ($=2 \times 2 \times 2$) ବୃଦ୍ଧି ପାଇଥାଏ । ଏହାର ସତ୍ୟତା ଅନୁଧ୍ୟାନ କର । ସେହିପରି 10 ଭାଙ୍ଗ ପରେ ମୋଟେଇ 1024 ଗୁଣ ବୃଦ୍ଧି ହୋଇଥାଏ । (10ଟି 2ର ଗୁଣଫଳ) ନିମ୍ନ ସାରଣୀରେ ପ୍ରଦର୍ଶିତ ହୋଇଥିବା :

---

2.2 ଘାତାଙ୍କୀୟ ସଂକେତ ଏବଂ ପ୍ରକ୍ରିୟା

କାଗଜର ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ମୋଟେଇ 0.001 ସେ.ମି. ଥିଲା ।

ଥରେ ଭାଙ୍ଗିବା ପରେ ଏହାର ମୋଟେଇ $0.001 \times 2 = 0.002$ ସେ.ମି. ହେଲା ।

ଏହାକୁ ଦୁଇଥର ଭାଙ୍ଗିବା ପରେ ଏହାର ମୋଟେଇ ହେଲା—

$0.001\text{ ସେ.ମି.} \times 2 \times 2 = 0.004\text{ ସେ.ମି.}$ ବା $0.001\text{ ସେ.ମି.} \times 2^2 = 0.004\text{ ସେ.ମି.}$ (ସଂକ୍ଷେପରେ)

ଏହାକୁ ତିନିଥର ଭାଙ୍ଗିବାପରେ, ଏହାର ମୋଟେଇ ହେଲା—

$0.001\text{ ସେ.ମି.} \times 2 \times 2 \times 2$ ବା $0.001\text{ ସେ.ମି.} \times 2^3 = 0.008\text{ ସେ.ମି.}$

ଏହାକୁ ଚାରିଥର ଭାଙ୍ଗିବାପରେ ମୋଟେଇ ହେଲା–

$0.001\text{ ସେ.ମି.} \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$ ବା $0.001\text{ ସେ.ମି.} \times 2^4 = 0.016\text{ ସେ.ମି.}$

ସେହିପରି 7 (ସାତ) ଥର ଭାଙ୍ଗିବା ପରେ ମୋଟେଇ

$0.001 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$ ବା $0.001\text{ ସେ.ମି.} \times 2^7 = 0.128\text{ ସେ.ମି.}$ ହେବ ।

ଆମେ ଜାଣିଛୁ ଯେ ବର୍ଗସଂଖ୍ୟାକୁ $n^2$ ରୂପରେ ଏବଂ ଘନସଂଖ୍ୟାକୁ $n^3$ ରୂପରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରିବ ।

$n \times n = n^2$ ($n$ ର ବର୍ଗ ବା $n$ ର ଦ୍ୱିତୀୟ ଘାତ)

$n \times n \times n = n^3$ ($n$ ର ଘନ ବା $n$ ର ତୃତୀୟ ଘାତ ଭାବରେ ପଢ଼ାଯାଏ)

$n \times n \times n \times n = n^4$ ($n$ ର ଘାତ 4 ବା $n$ ର ଚତୁର୍ଥ ଘାତ ଭାବରେ ପଢ଼ାଯାଏ)

$n \times n \times n \times n \times n \times n \times n = n^7$ ($n$ ର ଘାତ 7 ବା $n$ ର ସପ୍ତମ ଘାତ ଭାବରେ ପଢ଼ାଯାଏ) ଏବଂ ଏହିପରି ...

ସାଧାରଣତଃ ଆମେ $n$ କୁ $a$ ଥର ଗୁଣନ କରିବାକୁ $n^a$ ଭାବରେ ଲେଖୁ ।

ଘାତରାଶି, $5^4 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625$

625 ର ଘାତାଙ୍କୀୟ ସଂକେତ ହେଉଛି $5^4$ । ଏଠାରେ 4 ହେଉଛି ଘାତାଙ୍କ ବା ଘାତ ଏବଂ 5 ହେଉଛି ଆଧାର । 5 ର ଘାତାଙ୍କ ରୂପକୁ 5 ର ଘାତ କୁହାଯାଏ । $5^1, 5^2, 5^3, 5^4$ ଇତ୍ୟାଦି ।

$2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^{10} = 1024$

ପୂର୍ବରୁ ଜାଣିଥିବା 1024 କଥା ମନେ ପକାଅ । ସେଠାରେ ଆମେ ଜାଣିଥିଲେ ଯେ, ପ୍ରତି 10 ଥର ଭାଙ୍ଗିବା ପରେ ମୋଟେଇ 1024 ଗୁଣ ବୃଦ୍ଧି ପାଏ ।

$5^4$ କୁ ‘5 ର ଘାତ 4’ ବା ‘5 ର ଚତୁର୍ଥ ଘାତ’ ବା ‘5 ରେ ଘାତ 4’ ଭାବରେ ପଢ଼ାଯାଏ ।

? ଏକ କାଗଜ ଫର୍ଦ୍ଦ 10 ଥର ଭାଙ୍ଗିବା ପରେ ତାହାର ମୋଟେଇ ପରିପ୍ରକାଶ କିଭଳି ହେବ ? ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ମୋଟେଇ $v$ ଅକ୍ଷର ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଇଛି ।

• (i) $10v$
• (ii) $10+v$
• (iii) $2 \times 10 \times v$
• (iv) $2^{10}$
• (v) $2^{10}v$
• (vi) $10^2v$

ଘାତାଙ୍କୀୟ ସଙ୍କେତର କିଛି ଅଧିକ ଉଦାହରଣ :

$4 \times 4 \times 4 = 4^3 = 64$

$(-4) \times (-4) \times (-4) = (-4)^3 = -64$

ସେହିପରି $a \times a \times a \times b \times b$ କୁ $a^3b^2$ ($a$ ର ଘନ $b$ ର ବର୍ଗ) ଭାବରେ ପଢ଼ାଯାଇପାରିବ ।

ସେହିପରି $a \times a \times b \times b \times b \times b$ କୁ $a^2b^4$ ($a$ ର ବର୍ଗ $b$ ର ଚତୁର୍ଥ ଘାତ) ଭାବରେ ପଢ଼ାଯାଇପାରିବ ।

ମନେରଖ, $4 + 4 + 4 = 3 \times 4 = 12$, କିନ୍ତୁ $4 \times 4 \times 4 = 4^3 = 64$

? 32400 ସଂଖ୍ୟାକୁ ଏହାର ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକରେ ପ୍ରକାଶ କର ଏବଂ ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକୁ ସେମାନଙ୍କ ଘାତାଙ୍କ ରୂପରେ ଚିହ୍ନଟ କର :

$32400 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3$

ଏହାର ଘାତାଙ୍କୀୟ ପରିପ୍ରକାଶଟି ହେବ $32400 = 2^4 \times 5^2 \times 3^4$

? $(-1)^5$ ଟି କ'ଣ ? ଏହା ଧନାତ୍ମକ ନା ଋଣାତ୍ମକ ? $(-1)^{56}$ ଟି କ'ଣ ?

? $(-2)^4 = 16$ କି ? ଯାଞ୍ଚକର ।

? $0^2, 0^3$ ର ମାନ କେତେ ? $0^5$ ର ମାନ କେତେ ?

ନିଜେ କରି ଦେଖ :

1. ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ପରିପ୍ରକାଶକୁ ଘାତାଙ୍କୀୟ ରୂପରେ ଲେଖ :

• (i) $6 \times 6 \times 6 \times 6$

• (ii) $y \times y$

• (iii) $b \times b \times b \times b$

• (iv) $5 \times 5 \times 7 \times 7 \times 7$

• (v) $2 \times 2 \times a \times a$

• (vi) $a \times a \times a \times c \times c \times c \times c \times d$

2. ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟାକୁ ସେମାନଙ୍କର ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକଗୁଡ଼ିକର ଘାତର ଗୁଣଫଳ ରୂପରେ ପ୍ରକାଶ କର ।

• (i) 648
• (ii) 405
• (iii) 540
• (iv) 3600

3. ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରତ୍ୟେକର ସାଂଖିକ ମାନ ଲେଖ :

• (i) $2 \times 10^3$

• (ii) $7^2 \times 2^3$

• (iii) $3 \times 4^4$

• (iv) $(-3)^2 \times (-5)^2$

• (v) $3^2 \times 10^4$

• (vi) $(-2)^5 \times (-10)^6$

---

ଝଟକୁଥିବା ପଥର

[ଚିତ୍ର ବର୍ଣ୍ଣନା: ଏକ ଚିତ୍ର ଯେଉଁଥିରେ ଜଣେ ରାଜା ତାଙ୍କର ତିନିଜଣ କନ୍ୟାଙ୍କ ସହ ଛିଡ଼ା ହୋଇଛନ୍ତି ।]

? ତିନିଜଣ କୌତୁହଳୀ ଆଖି ଥିବା ଝିଅ ଥିଲେ ।

ପ୍ରତ୍ୟେକଙ୍କୁ ତିନୋଟି ବଡ଼ ଆକାରର ଝୁଡ଼ି ମିଳିଲା ।

ପ୍ରତ୍ୟେକ ଝୁଡ଼ିରେ ତିନୋଟି ରୂପା ଚାବି ଥିଲା ।

ପ୍ରତ୍ୟେକ ଚାବି ତିନୋଟି ବଡ଼ କୋଠରିକୁ ସହଜରେ ଖୋଲିଦିଏ ।

ପ୍ରତ୍ୟେକ କୋଠରିରେ ଟେବୁଲ୍ ଥିଲା । 1, 2, 3

ପ୍ରତ୍ୟେକ ଟେବୁଲ ଉପରେ ତିନୋଟି ଉଜ୍ଜ୍ୱଳ ହାର ଥିଲା ।

ପ୍ରତ୍ୟେକ ହାରରେ ତିନୋଟି ସୁନ୍ଦର ହୀରା ଥିଲା ।

ତୁମେ ଝଟକୁ ଥିବା ସେହି ପଥରଗୁଡ଼ିକୁ ଗଣିପାରିବ କି ?

ସୂଚନା : ଝୁଡ଼ି ଓ କୋଠରି ସଂଖ୍ୟା ବାହାର କର ।

? ମୋଟ କେତୋଟି କୋଠରି ଥିଲା ?

ଦିଆଯାଇଥିବା ସୂଚନାକୁ ନିମ୍ନମତେ ଚିତ୍ରରେ ପ୍ରଦର୍ଶିତ କରାଯାଇପାରିବ ।

(ରାଜା $\rightarrow$ ଝିଅମାନେ $\rightarrow$ ଝୁଡ଼ିଗୁଡ଼ିକ $\rightarrow$ ଚାବିଗୁଡ଼ିକ $\rightarrow$ ଘରଗୁଡ଼ିକ)

ଚିତ୍ରରୁ ଆମେ ଦେଖିଲୁ ଯେ କୋଠରି ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି $3^4$ । 3 କୁ ବାରମ୍ବାର 3 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରି ଆମେ ଏହାକୁ ଗଣନା କରିପାରିବା ।

$3 \times 3 = 9$

$9 \times 3 = 27$

$27 \times 3 = 81$

$81 \times 3 = 243$

? ମୋଟ କେତୋଟି ହୀରା ଥିଲା ? ଉପରୋକ୍ତ ଗୁଣଫଳ ବ୍ୟବହାର କରି କେବଳ ଗୋଟିଏ ଗୁଣନ ଦ୍ୱାରା ଆମେ ଏହା ଜାଣିପାରିବା କି ?

ହୀରାର ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି : $3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^7$

ଆମେ ଲେଖିପାରିବା $3^7 = (3 \times 3 \times 3 \times 3) \times (3 \times 3 \times 3)$

ଆମେ $3^4$ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଗଣନା କରିଥିଲେ । $3^7$ ପାଇବା ପାଇଁ ଆମେ କେବଳ $3^4 (=81)$ କୁ $3^3 (=27)$ ସହିତ ଗୁଣନ କରିପାରିବା ।

$= 3^4 \times 3^3 = 81 \times 27 = 2187$

? $3^7$ କୁ $3^2 \times 3^5$ ଭାବରେ ମଧ୍ୟ ଲେଖାଯାଇପାରିବ । ତୁମେ ଏହାର କାରଣ ଦର୍ଶାଇ ପାରିବ କି ?

ଏହାକୁ ସମାନ ଅକ୍ଷର-ସଂଖ୍ୟା ଥିବା ଘାତଗୁଡ଼ିକର ଗୁଣନ ଭାବରେ ସହଜରେ ବିସ୍ତାରିତ କରିପାରିବା ।

? $p^4 \times p^6$ ର ଗୁଣଫଳକୁ ଘାତାଙ୍କୀୟ ରୂପରେ ଲେଖ ?

$p^4 \times p^6 = (p \times p \times p \times p) \times (p \times p \times p \times p \times p \times p) = p^{10}$

ଏହାକୁ ଆମେ ସାଧାରଣ ରୂପରେ ନିମ୍ନମତେ ପ୍ରକାଶ କରିପାରିବା ।

$n^a \times n^b = n^{a+b}\text{, ଯେଉଁଠାରେ } a \text{ ଓ } b \text{ ଗଣନସଂଖ୍ୟା ଅଟନ୍ତି ।}$

? ଏହାକୁ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ କରି ନିମ୍ନଲିଖିତ ପରିପ୍ରକାଶଗୁଡ଼ିକୁ ଗଣନା କର ।

• (i) $2^9$
• (ii) $5^7$
• (iii) $4^6$

$4^6$ କୁ ଏହି ଦୁଇଟି ଉପାୟରେ ମୂଲ୍ୟାଙ୍କନ କରାଯାଇପାରିବ :

ସେହିପରି $7^4 = (7 \times 7) \times (7 \times 7) = 7^2 \times 7^2 = (7^2)^2$ ଏବଂ

$2^{10} = (2 \times 2) \times (2 \times 2) \times (2 \times 2) \times (2 \times 2) \times (2 \times 2) = 2^2 \times 2^2 \times 2^2 \times 2^2 \times 2^2 = (2^2)^5$

? $2^{10}$ ମଧ୍ୟ $(2^5)^2$ ସହିତ ସମାନ କି ? ଏହାକୁ ଏକ ଗୁଣଫଳ ଭାବରେ ଲେଖ ।

$2^{10} = (2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2) = (2^5) \times (2^5) = (2^5)^2$

ସାଧାରଣ ଭାବେ $(n^a)^b = (n^b)^a = n^{ab}$ ଯେଉଁଠାରେ $a$ ଓ $b$ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ଅଟନ୍ତି ।

? ନିମ୍ନଲିଖିତ ପରିପ୍ରକାଶଗୁଡ଼ିକୁ ଅତିକମ୍‌ରେ ଦୁଇଟି ଭିନ୍ନଭିନ୍ନ ଉପାୟରେ ଏକ ଘାତର ଘାତ ଭାବରେ ଲେଖ :

• (i) $8^6$
• (ii) $7^{15}$
• (iii) $9^{14}$
• (iv) $5^8$

---

କୁହୁକ ପୋଖରୀ (Magical Pond)

[ଚିତ୍ର ବର୍ଣ୍ଣନା: ଜଣେ ଝିଅ ଏକ ପୋଖରୀ କୂଳରେ ବସିଛି ଯେଉଁଥିରେ ଅନେକ ଗୋଲାପୀ ପଦ୍ମଫୁଲ ଫୁଟିଛି ।]

? ଏକ କୁହୁକ ପୋଖରୀ ମଝିରେ ଗୋଟିଏ ଗୋଲାପୀ ପଦ୍ମଫୁଲ ଅଛି । ଏହି ପୋଖରୀରେ ପ୍ରତିଦିନ ପଦ୍ମଫୁଲର ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱିଗୁଣିତ ହୁଏ । 30 ଦିନ ପରେ ପୋଖରୀଟି ପଦ୍ମଫୁଲରେ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣଭାବେ ଭର୍ତ୍ତି ହୋଇଯାଏ । କେଉଁଦିନ ପୋଖରୀଟି ଅଧାପୂର୍ଣ୍ଣ ଥିଲା ?

ଯଦି ପୋଖରୀଟି 30 ତମ ଦିନରେ ପଦ୍ମଫୁଲରେ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣଭାବେ ଭର୍ତ୍ତି ହୋଇଯାଏ, ତେବେ 29 ତମ ଦିନରେ ଏହାର କେତେ ଅଂଶ ପଦ୍ମଫୁଲରେ ଭର୍ତ୍ତି ହୋଇଥିଲା ।

ଯେହେତୁ ପଦ୍ମଫୁଲର ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରତିଦିନ ଦ୍ୱିଗୁଣିତ ହୁଏ, ତେଣୁ ପୋଖରୀଟି 29 ତମ ଦିନରେ ଅଧାଭର୍ତ୍ତି ହୋଇଥିବ ।

? ପଦ୍ମଫୁଲର ସଂଖ୍ୟା (ଘାତାଙ୍କୀୟ ରୂପରେ) ଲେଖ, ଯେତେବେଳେ ପୋଖରୀଟି—

• (i) ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଭର୍ତ୍ତି ହୋଇଥିଲା ।

• (ii) ଅଧା ଭର୍ତ୍ତି ହୋଇଥିଲା ।

? ଆଉ ଏକ ପୋଖରୀ ଅଛି ଯେଉଁଥିରେ ପଦ୍ମଫୁଲର ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରତିଦିନ ତିନିଗୁଣ ହୁଏ । ଯେତେବେଳେ ଉଭୟ ପୋଖରୀରେ କୌଣସି ଫୁଲ ନ ଥିଲା, ଶିବାନୀ ଦୁଇଗୁଣ ହେଉଥିବା ପୋଖରୀରେ ଗୋଟିଏ ପଦ୍ମଫୁଲ ରଖିଲେ । 4 ଦିନପରେ ସେ ସେଠାରୁ ସମସ୍ତ ପଦ୍ମଫୁଲ ନେଇ ତିନିଗୁଣ ହେଉଥିବା ପୋଖରୀରେ ରଖିଲେ । ଆଉ 4 ଦିନପରେ ତିନିଗୁଣ ହେଉଥିବା ପୋଖରୀରେ କେତୋଟି ପଦ୍ମଫୁଲ ଥିବ ?

ପ୍ରଥମ 4 ଦିନପରେ, ପଦ୍ମଫୁଲର ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି — $1 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4$

ପରବର୍ତ୍ତୀ 4 ଦିନପରେ, ପଦ୍ମଫୁଲର ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି — $2^4 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^4 \times 3^4$

? ଯଦି ଶିବାନୀ ଫୁଲଗୁଡ଼ିକୁ ପୋଖରୀରେ ରଖିବାର କ୍ରମ ବଦଳାଇଥାନ୍ତେ, ତେବେ କେତୋଟି ପଦ୍ମଫୁଲ ରହିଥାନ୍ତା ?

$1 \times 3^4 \times 2^4 = (3 \times 3 \times 3 \times 3) \times (2 \times 2 \times 2 \times 2)$

? ଏହି ଗୁଣଫଳକୁ ଘାତାଙ୍କୀୟ ସଙ୍କେତ $m^n$ ଭାବରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରିବ କି ? ଯେଉଁଠାରେ $m$ ଏବଂ $n$ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ଅଟନ୍ତି ।

ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ପୁନଃଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରାଗଲେ,

$= (3 \times 2) \times (3 \times 2) \times (3 \times 2) \times (3 \times 2) = (3 \times 2)^4 = 6^4$

ସାଧାରଣତଃ $m^a \times n^a = (mn)^a$, ଯେଉଁଠାରେ $a$ ଗୋଟିଏ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ । ଏହି ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣକୁ ବ୍ୟବହାର କରି $2^5 \times 5^5$ ର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

? $\frac{10^4}{5^4}$ କୁ ସରଳ କର ଏବଂ ଏହାକୁ ଘାତାଙ୍କୀୟ ରୂପରେ ଲେଖ ।

ସାଧାରଣ ଭାବେ ଆମେ ଦର୍ଶାଇପାରିବା ଯେ $\frac{m^a}{n^a} = \left(\frac{m}{n}\right)^a$

---

କେତୋଟି ସମାବେଶ (Combination) :

[ଚିତ୍ର ବର୍ଣ୍ଣନା: 3 ଟି ଭିନ୍ନ ରଙ୍ଗର ଟୋପି ଏବଂ 4 ଟି ଭିନ୍ନ ରଙ୍ଗର ପୋଷାକ (ସାର୍ଟ ଓ ପ୍ୟାଣ୍ଟ)ର ସମାବେଶ ଚିତ୍ର ଦର୍ଶାଯାଇଛି ।]

? ଇତୁ ପାଖରେ 4 ଟି ପୋଷାକ ଓ 3 ଟି ଟୋପି ଅଛି । ଇତୁ କେତେ ପ୍ରକାରରେ ପୋଷାକ ଓ ଟୋପିକୁ ମିଶାଇ ପାରିବେ ? ପ୍ରତ୍ୟେକ ଟୋପିପାଇଁ, ସେ 4 ଟି ପୋଷାକ ମଧ୍ୟରୁ ଯେକୌଣସି ଗୋଟିଏ ବାଛିପାରିବେ । ତେଣୁ 3 ଟି ଟୋପି ପାଇଁ $4 + 4 + 4 = 4 \times 3 = 12$ ସମାବେଶ ସମ୍ଭବ ଅଟେ । ଆମେ ଏହାକୁ ଅନ୍ୟ ଏକ ଉପାୟରେ ମଧ୍ୟ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରିପାରିବା, ପ୍ରତ୍ୟେକ ପୋଷାକ ପାଇଁ ଇତୁ 3 ଟି ଟୋପି ମଧ୍ୟରୁ ଯେକୌଣସି ଗୋଟିଏ ବାଛିପାରିବେ; ତେଣୁ 4 ଟି ପୋଷାକ ପାଇଁ $3 + 3 + 3 + 3 = 3 \times 4 = 12$ ସମାବେଶ ସମ୍ଭବ ।

? ରକି ପାଖରେ 7 ଟି ପୋଷାକ, 2 ଟି ଟୋପି ଏବଂ 3 ଯୋଡ଼ା ଜୋତା ଅଛି । ରକି କେତେ ପ୍ରକାରରେ ଏଗୁଡ଼ିକୁ ପିନ୍ଧିପାରିବ ? ସୂଚନା : ଉପରୋକ୍ତ ଚିତ୍ରପରି ଏକ ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କରିବାକୁ ଚେଷ୍ଟାକର ।

ଇତୁ ଏବଂ ରକିଙ୍କୁ ଏକ ପୁରୁଣା ଷ୍ଟାମ୍ପ ଏବଂ ମୁଦ୍ରା ଥିବା ବାକ୍ସ ମିଳିଲା, ଯାହାକୁ କି ତାଙ୍କ ଜେଜେ ସଂଗ୍ରହ କରିଥିଲେ । ଏହାର ଚାବି 5 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ପାସୱାର୍ଡ଼ ଦ୍ୱାରା ସୁରକ୍ଷିତ ଥିଲା । ଏହାର ପାସ୍ୱାର୍ଡ଼ କାହାରିକୁ ଜଣା ନଥିବାରୁ ସେମାନଙ୍କୁ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାସ୍ୱାର୍ଡ଼ ଦ୍ୱାରା ଚେଷ୍ଟା କରିବା ବ୍ୟତୀତ ବାକ୍ସକୁ ଖୋଲିବାପାଇଁ ଅନ୍ୟ କୌଣସି ବିକଳ୍ପ ଉପାୟ ନଥିଲା । ଦୁର୍ଭାଗ୍ୟ ଏହି ଯେ, ସବୁ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ସମାବେଶ ଥର ଚେଷ୍ଟା କରିବା ପରେ ହିଁ ଶେଷ ପାସ୍ୱାର୍ଡ଼ରେ ଲକ୍ ଖୋଲିଲା; ସେମାନେ କେତୋଟି ପାସୱାର୍ଡ଼ ନେଇ ଚେଷ୍ଟା କରିଥିଲେ ?

ଯଦି ତୁମେ ଏକ ସମସ୍ୟା ସମାଧାନ କରିପାରୁନାହଁ, ତେବେ ସମସ୍ୟାର ଏକ ସରଳ ରୂପ ଖୋଜିବାକୁ ଚେଷ୍ଟାକର, ଯାହାକୁ ତୁମେ ସମାଧାନ କରିପାରିବ । ଏହି କୌଶଳ ବହୁ ସମୟରେ କାମରେ ଆସିବ ।

5 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ତାଲା ବଦଳରେ, ଆସ ଆମେ ମାନିନେବା ଯେ ଆମପାଖରେ 2 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ତାଲା ଅଛି ଏବଂ ଏଥିପାଇଁ କେତୋଟି ପାସ୍ୱାର୍ଡ଼ ସମ୍ଭବ ତାହା ଜାଣିବାକୁ ଆମେ ଚେଷ୍ଟା କରିବା । ପ୍ରଥମ ଅଙ୍କ ପାଇଁ 10 ଟି ବିକଳ୍ପ ଅଛି (ଯଦି 0 ପ୍ରଥମ ଅଙ୍କ, ତେବେ 00, 01, 02, 03, ... 09 ସମ୍ଭବ, ସେହିପରି ଯଦି 1 ପ୍ରଥମ ଅଙ୍କ, ତେବେ 10, 11, 12, 13, ... 19 ସମ୍ଭବ) । ତେଣୁ ଏକ 2 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ଲକ୍ ପାଇଁ ସମୁଦାୟ ସମାବେଶ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି $10 \times 10 = 100$ ।

ବର୍ତ୍ତମାନ ମନେକର ଆମ ପାଖରେ ଏକ 3 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ତାଲା ଅଛି । ପୂର୍ବରୁ ଥିବା 100 (2 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ) ପାସ୍ୱାର୍ଡ଼ ମଧ୍ୟରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଥର ତୃତୀୟ ଅଙ୍କ ପାଇଁ $100 \times 10 = 1000$ ଟି ସମାବେଶ ଅଛି । ତୁମେ ସେଗୁଡ଼ିକୁ ତାଲିକାଭୁକ୍ତ କରିପାରିବ : 000, 001, 002, ... 997, 998, 999 ।

କେତୋଟି 5 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ପାସ୍ୱାର୍ଡ଼ ସମ୍ଭବ ?

[ଚିତ୍ର ବର୍ଣ୍ଣନା: ଏକ ଝିଅ ମୁଣ୍ଡ କୁଣ୍ଡାଇ ଚିନ୍ତାରେ କହୁଛି: "ନା ! ଏହାକୁ ପ୍ରସ୍ତୁତ କରିବା ପାଇଁ ମୋର ସମସ୍ତ ଛୁଟି ଦିନ ସରିଯିବ ।" ଏବଂ ପାଖରେ 0 ରୁ 9 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଡାଏଲ ଥିବା ନମ୍ବର ତାଲାର ଚିତ୍ର ଅଛି ।]

ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅଙ୍କର 10 ଟି ପସନ୍ଦ ଅଛି । ତେଣୁ ଏକ 5 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ତାଲାରେ ଥିବ :

$10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^5 = 1,00,000\text{ ସଂଖ୍ୟକ ପାସ୍ୱାର୍ଡ଼ ।}$

ତେଣୁ 99,999 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ 5 ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା ଲେଖାଯାଇ ପାରିବ, ଯଥା : 00000, 00001, 00002, ... 00010, 00011, ... 00100, 00101, ... 00999, ..., 30456, ..., 99998, 99999 ।

ଇତୁ କହିଲା “ପରବର୍ତ୍ତୀ ସମୟରେ ମୁଁ ଏକ ତାଲା କିଣିବି ଯେଉଁଥିରେ A ରୁ Z ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଅକ୍ଷରଥିବା 6 ଟି ସ୍ଲଟ୍ ଥିବ । ମୁଁ ଏହାକୁ ଅଧିକ ନିରାପଦ ବୋଲି ଭାବୁଛି ।”

? ଏହିଭଳି ତାଲା ପାଇଁ କେତୋଟି ପାସ୍ୱାର୍ଡ଼ ସମ୍ଭବ ?

? ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରସଙ୍ଗରେ କେତେ ପ୍ରକାରର ସମାବେଶ ସମ୍ଭବ, ସେ ବିଷୟରେ ଚିନ୍ତାକର । ସମାବେଶର କେତେକ ଉଦାହରଣ:

• (i) ଭାରତର ସ୍ଥାନଗୁଡ଼ିକର ପିନ୍‌କୋଡ଼– ଯଥା- ଓଡ଼ିଶାର କଟକର ଏକ ସ୍ଥାନର ପିନ୍‌କୋଡ଼ 753010, ମଧ୍ୟପ୍ରଦେଶର ଏକ ସ୍ଥାନର ପିନ୍‌କୋଡ଼- 464001 ...

• (ii) ମୋବାଇଲ୍ ନମ୍ବର ; - 9861372305, 9937948664

• (iii) ଯାନବାହନ ପଞ୍ଜୀକରଣ ନମ୍ବର ; ଯଥା - OD02CU4256, OD02DB3705

ଏହି ନମ୍ବର ବା କୋଡ଼୍ କିପରି ଆବଣ୍ଟନ କରାଯାଏ, ଜାଣିବାକୁ ଚେଷ୍ଟାକର ।

---

2.3 ଘାତର ଅପର ପାର୍ଶ୍ୱ :

ଧରାଯାଉ ଏକ ରେଖାଖଣ୍ଡର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 16 ଏକକ । ଏହାର ଅଧା ଅଂଶ ଲିଭାଇଦେଲେ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ହେବ :

$2^4 \div 2 = \frac{2 \times 2 \times 2 \times 2}{2} = 2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8\text{ ଏକକ}$

ଆଉଥରେ ଅଧା ଲିଭାଇଲେ ଫଳାଫଳ ହେବ :

$(2^4 \div 2) \div 2 = 2^4 \div 2^2 = \frac{2 \times 2 \times 2 \times 2}{2 \times 2} = 2 \times 2 = 2^2 = 4\text{ ଏକକ}$

16 ସେ.ମି.କୁ 3 ଥର ଅଧା ଅଧା କରିଲେ ଫଳାଫଳ ହେବ :

$2^4 \div 2^3 = \frac{2 \times 2 \times 2 \times 2}{2 \times 2 \times 2} = 2 = 2^1 = 2\text{ ଏକକ}$

ଏଥିରୁ ଆମେ ଦେଖୁଛେ ଯେ $2^4 \div 2^3 = 2^{4-3} = 2^1$ ।

? 2 ର ଘାତ ଆକାରରେ $2^{100} \div 2^{25}$ ର ମାନ କେତେ ହେବ ?

ସାଧାରଣ ଭାବରେ,

$n^a \div n^b = n^{a-b}\text{, ଯେଉଁଠାରେ } n \neq 0 \text{ ଏବଂ } a \text{ ଓ } b \text{ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ଅଟନ୍ତି ଏବଂ } a > b \text{ ।}$

? $n$ କାହିଁକି 0 ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ?

? ଘାତାଙ୍କ ‘0’ ଥିବା ପରିସ୍ଥିତି ବିଷୟରେ ଆମେ ଆଲୋଚନା କରିନାହୁଁ । ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ = $2^0$ କ'ଣ ?

ଆସ ଆମେ $2^0$ କୁ ଏପରି ଭାବରେ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରିବା ଯେ ଉପରୋକ୍ତ ସାଧାରଣ ରୂପ ସତ୍ୟ ହେବ ।

$2^0 = 2^{4-4} = 2^4 \div 2^4 = \frac{2 \times 2 \times 2 \times 2}{2 \times 2 \times 2 \times 2} = 1$

ଯେ କୌଣସି ସଂକେତ $a$ ପାଇଁ

$2^0 = 2^{a-a} = 2^a \div 2^a = 1$

ସାଧାରଣ ଭାବରେ $x^a \div x^a = x^{a-a} = x^0$, ତେଣୁ $1 = x^0$, ଯେଉଁଠାରେ $x \neq 0$ ଏବଂ $a$ ଏକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ।

[ଚିତ୍ର ବର୍ଣ୍ଣନା: ନିକିତିରେ ବିଭିନ୍ନ ସଂଖ୍ୟା (ଯଥା 9, 8, 7 ଆଦି) ମଧ୍ୟରେ ଓଜନ ତୁଳନାର ବିଭିନ୍ନ କାର୍ଟୁନ୍ ଅବସ୍ଥା ପ୍ରଦର୍ଶନ କରାଯାଇଛି ।]

ଯେତେବେଳେ ଘାତ ଶୂନ (0) ହୁଏ :

ଯେତେବେଳେ $2^4$ ଏକକ ଦୈର୍ଘ୍ୟବିଶିଷ୍ଟ ରେଖାଖଣ୍ଡକୁ 5 ଥର ଅଧା କରାଯାଏ, ସେତେବେଳେ

$2^4 \div 2^5 = \frac{2 \times 2 \times 2 \times 2}{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2} = \frac{1}{2}\text{ ଏକକ}$

ସାଧାରଣ ରୂପକୁ ବ୍ୟବହାର କଲେ, ଆମେ ପାଇବା $2^4 \div 2^5 = 2^{(4-5)} = 2^{-1}$ । ତେଣୁ, $2^{-1} = \frac{1}{2}$ ।

ଯେତେବେଳେ $2^4$ ଏକକ ଦୈର୍ଘ୍ୟବିଶିଷ୍ଟ ରେଖାଖଣ୍ଡକୁ 10 ଥର ଅଧା ଅଧା କରାଯାଏ, ସେତେବେଳେ ଆମେ ପାଇବା $2^4 \div 2^{10} = 2^{(4-10)} = 2^{-6}$ ଏକକ

ଏହାର ବିସ୍ତାର କଲେ,

$2^4 \div 2^{10} = \frac{2 \times 2 \times 2 \times 2}{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2} = \frac{1}{2^6} = \frac{1}{64}\text{, ଏହାକୁ } 2^{-6} \text{ ମଧ୍ୟ ଲେଖାଯାଏ ।}$

ସେହିଭଳି, $10^{-3} = \frac{1}{10^3}$, $7^{-2} = \frac{1}{7^2}$, ଇତ୍ୟାଦି ।

ଆମେ $10^3 = \frac{1}{10^{-3}}$ ଲେଖିପାରିବା କି ?

ହଁ, ଆମେ ଲେଖିପାରିବା,

$\frac{1}{10^{-3}} = \frac{1}{1/10^3} = 1 \div \frac{1}{10^3} = 1 \times 10^3 = 10^3$

ସେହିଭଳି, $7^2 = \frac{1}{7^{-2}}$ ଏବଂ $4^a = \frac{1}{4^{-a}}$ ।

ଏହାର ସାଧାରଣ ରୂପ ହେଲା–

$n^{-a} = \frac{1}{n^a}\text{ ଏବଂ } n^a = \frac{1}{n^{-a}}\text{, ଯେଉଁଠାରେ } n \neq 0\text{ ।}$

ଆମେ ଜାଣିଥିବା ନିମ୍ନଲିଖିତ ସାଧାରଣ ରୂପକୁ ଆଲୋଚନା କର :

ଗାଣିତିକ କଥାବାର୍ତ୍ତା

? ଏଠାରେ $a$ ଓ $b$ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ଅଟନ୍ତି । ମାତ୍ର $a$ ଏବଂ $b$ ସ୍ଥାନରେ କୌଣସି ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ନେଇପାରିବା କି ? ଏହାର ସାଧାରଣ ରୂପ ଅପରିବର୍ତ୍ତିତ ରହିବ କି ?

? ନିମ୍ନଲିଖିତ ପଦଗୁଡ଼ିକର ସମତୁଲ୍ୟ ରୂପ ଲେଖ :

• (i) $2^{-4}$
• (ii) $10^{-5}$
• (iii) $(-7)^{-2}$
• (iv) $(-5)^{-3}$
• (v) $10^{-100}$

? ସରଳକର ଏବଂ ଉତ୍ତରଗୁଡ଼ିକୁ ଘାତାଙ୍କୀୟ ରୂପରେ ଲେଖ :

• (i) $2^{-4} \times 2^7$
• (ii) $3^2 \times 3^{-5} \times 3^6$
• (iii) $p^3 \times p^{-10}$
• (iv) $2^4 \times (-4)^{-2}$
• (v) $8^p \times 8^q$

ଘାତ ରେଖା :

ଆସ ଆମେ 4 ର ଘାତଗୁଡ଼ିକୁ ଏକ ରେଖାରେ ସଜାଇବା ।

[ଚିତ୍ର ବର୍ଣ୍ଣନା: 4 ର ଘାତ ରେଖା ଯେଉଁଥିରେ $4^8$ (65536) ରୁ ଆରମ୍ଭ କରି $4^{-2}$ ($\frac{1}{16}$) ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ମାନ ଏବଂ ସେମାନଙ୍କ ଗୁଣନ/ହରଣ ସମ୍ପର୍କ ଏକ ରେଖାଚିତ୍ରରେ ଦର୍ଶାଯାଇଛି ।]

? ଆମେ $16384 (=4^7)$ ସଂଖ୍ୟାଟି $1024 (=4^5)$ ଠାରୁ $16 (=4^2)$ ଗୁଣ ବଡ଼ ବୋଲି କହିପାରିବା କି ?

ହଁ, ଯେହେତୁ $4^7 \div 4^5 = 4^2$

? $4^{-2}$ ଠାରୁ $4^2$ କେତେଗୁଣ ବଡ଼ ?

? 7 ର ଘାତରେଖା ବ୍ୟବହାର କରି ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ଉତ୍ତର ଲେଖ ।

---

2.4 10 ର ଘାତ

ଆମେ ଦଶମିକ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ବିସ୍ତାରିତ ରୂପରେ ଲେଖିବା ସମୟରେ 10, 100, 1000 ପରି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ବ୍ୟବହାର କରିଅଛୁ । ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ,

$47561 = (4 \times 10000) + (7 \times 1000) + (5 \times 100) + (6 \times 10) + 1$

ଏହାକୁ 10 ର ଘାତ ବ୍ୟବହାର କରି ନିମ୍ନମତେ ଲେଖାଯାଇପାରିବ ।

$47561 = (4 \times 10^4) + (7 \times 10^3) + (5 \times 10^2) + (6 \times 10^1) + (1 \times 10^0)$

? ଉପରୋକ୍ତ ଉପାୟରେ ଏହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଲେଖ : (i) 172, (ii) 5642 (iii) 6474

561.903 କୁ ଆମେ କିପରି ଲେଖିପାରିବା ?

$561.903 = (5 \times 100) + (6 \times 10) + 1 + \left(9 \times \frac{1}{10}\right) + \left(0 \times \frac{1}{100}\right) + \left(3 \times \frac{1}{1000}\right)$

10 ର ଘାତ ବ୍ୟବହାର କରି ଆମେ ଏହାକୁ ଲେଖିବା :

$561.903 = (5 \times 10^2) + (6 \times 10^1) + (1 \times 10^0) + (9 \times 10^{-1}) + (0 \times 10^{-2}) + (3 \times 10^{-3})$

---

ବୈଜ୍ଞାନିକ ସଂକେତ (Scientific Notation) :

ଆସ ଆମେ ବଡ଼ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ନେଇ କିଛି ଗାଣିତିକ ତଥ୍ୟକୁ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରିବା :

• (i) ସୂର୍ଯ୍ୟ ଆମ ଆକାଶଗଙ୍ଗା ଛାୟାପଥ (Galaxy) ର କେନ୍ଦ୍ରଠାରୁ 30,00,00,00,00,00,00,00,00,000 ମିଟର ଦୂରରେ ଅବସ୍ଥିତ ।

• (ii) ଆମ ଛାୟାପଥରେ ତାରାମାନଙ୍କର ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି 1,00,00,00,00,000

• (iii) ପୃଥିବୀର ବସ୍ତୁତ୍ୱ 59,76,00,00,00,00,00,00,00,00,00,00,000 କି.ଗ୍ରା. ।

ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ସଂଖ୍ୟା ବୃଦ୍ଧି ପାଇଲେ ସେଗୁଡ଼ିକୁ ଠିକ୍ ଭାବରେ ପଢ଼ିବା କଷ୍ଟକର ହୋଇଯାଏ । ଆମେ ଶୂନ (0) ର ସଂଖ୍ୟା ଗଣିବାରେ ଭୁଲ୍ କରିପାରୁ କିମ୍ବା ଭୁଲ ସ୍ଥାନରେ କମା ରଖିପାରୁ; ତେଣୁ ଆମେ ଭୁଲ ମୂଲ୍ୟ ପାଇବା । ଯଥା- ଆମେ 50,000 ପାଇବାକୁ ଥିବାବେଳେ 5,000 ଲେଖୁଥାଉ । ଅନେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସଂଖ୍ୟାର ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକ ଅପେକ୍ଷା ଶୂନଗୁଡ଼ିକର ସଂଖ୍ୟା ଗଣିବା ଅଧିକ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ।

ବଡ଼ ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ସରଳ କରିବା ଏବଂ ଠିକ୍ ଭାବରେ ପଢ଼ିବାପାଇଁ ଆମେ ଘାତାଙ୍କ ସଂକେତ ବ୍ୟବହାର କରିପାରିବା କି ?

ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ : 5900 ସଂଖ୍ୟାକୁ ଆମେ ନିମ୍ନମତେ ପ୍ରକାଶ କରିପାରିବା–

$\begin{aligned} 5900 &= 590 \times 10 = 590 \times 10^1 \\ &= 59 \times 100 = 59 \times 10^2 \\ &= 5.9 \times 1000 = 5.9 \times 10^3 \\ &= 0.59 \times 10,000 = 0.59 \times 10^4 \end{aligned}$

ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟାକୁ 1 ଓ 10 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ଏକ ଅଙ୍କ ଏବଂ 10 ର ଘାତର ଗୁଣନ ରୂପେ ଲେଖାଯାଇପାରିବ ।

ଉଦାହରଣସ୍ୱରୂପ : $5900 = 5.9 \times 10^3$, $20,800 = 2.08 \times 10^4$, $80,00,000 = 8 \times 10^6$

? ଏହା ପୂର୍ବରୁ ପଢ଼ିଥିବା ବଡ଼ସଂଖ୍ୟାର ତଥ୍ୟଗୁଡ଼ିକୁ ନିମ୍ନରୂପରେ ଲେଖିବା :

ବୈଜ୍ଞାନିକ ସଂକେତ ବା ବୈଜ୍ଞାନିକ ରୂପରେ (ମାନକ ରୂପ) ଆମେ ସଂଖ୍ୟାକୁ $x \times 10^y$ ଭାବରେ ଲେଖୁଥାଉ; ଯେଉଁଠାରେ କି $x \geq 1$ ଏବଂ x < 10, $x$ ହେଉଛି ସହଗ ଏବଂ ଘାତାଙ୍କ $y$ ହେଉଛି ଯେକୌଣସି ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା । ପ୍ରାୟତଃ ସହଗ $x$ ଅପେକ୍ଷା, ଘାତାଙ୍କ $y$ ଅଧିକ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ । ଆମେ ଯେତେବେଳେ ମୁମ୍ବାଇର 2 କୋଟି ଜନସଂଖ୍ୟାକୁ $2 \times 10^7$ ରୂପରେ ଲେଖୁଥାଉ; ସେଠାରେ 7 ହେଉଛି 2 ଅପେକ୍ଷା ଅଧିକ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ । ବାସ୍ତବରେ ଯଦି 2 କୁ 3 ରେ ପରିବର୍ତ୍ତନ କରାଯାଏ, ତେବେ ଜନସଂଖ୍ୟା ଦେଢ଼ଗୁଣ ବୃଦ୍ଧିପାଏ । ଅର୍ଥାତ୍ 2 କୋଟିରୁ 3 କୋଟି ହୁଏ । ମାତ୍ର ଯଦି 7 କୁ 8 ରେ ପରିବର୍ତ୍ତନ କରାଯାଏ, ତେବେ ଜନସଂଖ୍ୟା 10 ଗୁଣ ବଢ଼ିଯାଏ । ଅର୍ଥାତ୍ ଏହା 2 କୋଟିରୁ 20 କୋଟି ହୋଇଯାଏ । ତେଣୁ ମାନକ ରୂପ ସ୍ପଷ୍ଟ ଭାବରେ ଘାତାଙ୍କକୁ ଉଲ୍ଲେଖ କରେ, ଯାହା ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ସଂଖ୍ୟାକୁ ସୂଚାଏ ।

ଯଦି ଆମେ କୋହିମାର ଜନସଂଖ୍ୟା 1,42,395 ବୋଲି କହୁ, ତେବେ ଏହି ସଂଖ୍ୟା ଏକକ ସ୍ଥାନ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଠିକ୍ ବୋଲି ନିଶ୍ଚିତ ଥାଉ । ଯେତେବେଳେ ଆମେ ବଡ଼ସଂଖ୍ୟା ବ୍ୟବହାର କରୁ, ଅଧିକାଂଶ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଆମେ ଏହାର ସଠିକ୍ ମୂଲ୍ୟ ଅପେକ୍ଷା ଗୋଟିଏ ପରିମାଣ ବା ମାପ କେତେବଡ଼ ସେ ବିଷୟରେ ଅଧିକ ଧ୍ୟାନ ଦେଇଥାଉ । ଯଦି ଆମେ ନିଶ୍ଚିତ ଯେ ଜନସଂଖ୍ୟା ପ୍ରାୟ 1 ଲକ୍ଷ 42 ହଜାର, ଆମେ ଏହାକୁ $1.42 \times 10^5$ ଭାବରେ ଲେଖିପାରିବା । ଯଦି ଆମେ ଏହା ପ୍ରାୟ 1 ଲକ୍ଷ 40 ହଜାର ବୋଲି ନିଶ୍ଚିତ, ତେବେ ଏହାକୁ ଆମେ $1.4 \times 10^5$ ଭାବରେ ଲେଖୁଥାଉ । ସହଗରେ ଥିବା ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ସଂଖ୍ୟାଦ୍ୱାରା ଆମେ ସଂଖ୍ୟାକୁ କେତେ ସ୍ପଷ୍ଟଭାବରେ ଜାଣୁ, ତାହା ସୂଚାଇଥାଏ ।

ବୈଜ୍ଞାନିକ ରୂପରେ ଲେଖାଯାଇଥିବା କୌଣସି ସଂଖ୍ୟାର ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ଅଂଶ ହେଉଛି ଘାତ, ଏବଂ ତା'ପରେ ସହଗର ପ୍ରଥମ ଅଙ୍କ; ସହଗ ପରେ ଥିବା ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକ ପ୍ରଥମ ଅଙ୍କର ସାମାନ୍ୟ ସଂଶୋଧନ ଅଟେ ।

[ଚିତ୍ର ବର୍ଣ୍ଣନା: ଏକ ମ୍ୟୁଜିୟମରେ ଡାଇନୋସର କଙ୍କାଳ ସମ୍ମୁଖରେ କଥୋପକଥନ କରୁଥିବା ବ୍ୟକ୍ତିମାନଙ୍କ କାର୍ଟୁନ୍: ପର୍ଯ୍ୟଟକ: "ଏହି ଡାଇନୋସରର କଙ୍କାଳଟି କେତେ ପୁରୁଣା ?" ଗାଇଡ୍: "ଏହା 70 ନିୟୁତ 15 ବର୍ଷର ପୁରୁଣା ।" ପର୍ଯ୍ୟଟକ ଆଶ୍ଚର୍ଯ୍ୟ ହେବାରୁ ଗାଇଡ୍ କହୁଛି: "ମୁଁ ଯେତେବେଳେ ଏଠାରେ କାମ ଆରମ୍ଭ କଲି ଏହା 70 ନିୟୁତ ବର୍ଷ ପୁରୁଣା ଥିଲା ।"]

ଏହି ମୂଲ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି ଆସନ୍ନମାନ ଆକଳନ; ହାରାହାରି ବା ଆନୁମାନିକ ମୂଲ୍ୟ । ଅଧିକାଂଶ ସମୟରେ ସେଗୁଡ଼ିକ ତତ୍କାଳ ଉଦ୍ଦେଶ୍ୟ ସାଧନ କରିଥାନ୍ତି ।

ସୂର୍ଯ୍ୟ ଏବଂ ଶନି ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା ହେଉଛି 14,33,50,00,00,000 ମିଟର $= 1.4335 \times 10^{12}$ ମିଟର ।

ଶନି ଏବଂ ୟୁରେନ୍ସ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା ହେଉଛି 14,39,00,00,00,000 ମିଟର $= 1.439 \times 10^{12}$ ମିଟର ।

ସୂର୍ଯ୍ୟ ଏବଂ ପୃଥିବୀ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା ହେଉଛି 1,49,60,00,00,000 ମିଟର $= 1.496 \times 10^{11}$ ମିଟର ।

? ଏହି ତିନୋଟି ଦୂରତା ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁ ଦୂରତାଟି ସବୁଠାରୁ ସାନ, ତୁମେ କହିପାରିବ କି ?

? ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ସଂଖ୍ୟାରେଖା ସୂର୍ଯ୍ୟ ଓ ଶନି ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ଦୂରତା ($1.4335 \times 10^{12}$ ମି.) କୁ ଦର୍ଶାଉଛି । ଉକ୍ତ ସଂଖ୍ୟାରେଖାରେ, ପୃଥିବୀର ଆପେକ୍ଷିକ ସ୍ଥିତି ଚିହ୍ନଟ କର । ସୂର୍ଯ୍ୟ ଓ ପୃଥିବୀ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ଦୂରତା ହେଉଛି $1.496 \times 10^{11}$ ମିଟର ।

? ନିମ୍ନଲିଖିତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ମାନକରୂପରେ ପ୍ରକାଶ କର :

• (i) 59,583
• (ii) 65,950
• (iii) 34,30,000
• (iv) 70,04,00,00,000

---

2.5 ତୁମେ କେବେ ଭାବିଛ କି ?

ଆଗରୁ ଆମେ ବଡ଼ସଂଖ୍ୟା ବାବଦରେ କିଛି ରୋଚକ ତଥ୍ୟ ଜାଣିଥିଲେ । ଆସ ଆଜି ସେ ବିଷୟରେ ଅଧିକ କିଛି ଜାଣିବା । ନନ୍ଦବାବୁ ଇଚ୍ଛାକଲେ, ରକି ଓଜନ ସହିତ ସମାନ ପରିମାଣର ଗୁଡ଼ ଏବଂ ଇତୁ ଓଜନ ସହିତ ସମାନ ପରିମାଣର ଗହମ ଦାନ କରିବେ । ଏଥିପାଇଁ କେତେ ଖର୍ଚ୍ଚ ହେବ ସେ ହିସାବ କଲେ ।

[ଚିତ୍ର ବର୍ଣ୍ଣନା: ନିକିତିର ଗୋଟିଏ ପାଖରେ ପିଲାମାନେ ଏବଂ ଅନ୍ୟ ପାଖରେ ବସ୍ତା/ଜିନିଷ ରଖି ଓଜନ ମପାଯାଉଥିବାର ଦୁଇଟି ଚିତ୍ର (ତୁଳାଭାର) ଦର୍ଶାଯାଇଛି ।]

? ଦାନ କରାଯାଉଥିବା ଗୁଡ଼ର ମୂଲ୍ୟ (ଟଙ୍କାରେ) କେତେ ହେବ ? ଦାନ କରାଯାଇଥିବା ଗହମର ମୂଲ୍ୟ (ଟଙ୍କାରେ) କେତେ ହେବ ?

ଏହାକୁ ଜାଣିବା ପାଇଁ, ଆସ ପ୍ରଥମେ ନିଆଯାଇଥିବା ପରିମାଣ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସମ୍ପର୍କକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରିବା ?

ଗୁଡ଼ର ମୂଲ୍ୟ (ଟଙ୍କାରେ) = ରକିର ଓଜନ (କିଲୋଗ୍ରାମରେ) $\times$ 1 କି.ଗ୍ରା ଗୁଡ଼ର ମୂଲ୍ୟ

ଗହମର ମୂଲ୍ୟ (ଟଙ୍କାରେ) = ଇତୁର ଓଜନ (କିଲୋଗ୍ରାମରେ) $\times$ 1 କି.ଗ୍ରା ଗହମର ମୂଲ୍ୟ

? ଅଜ୍ଞାତ ରାଶି ପାଇଁ ଆବଶ୍ୟକ ଏବଂ ଉପଯୁକ୍ତ ଆନୁମାନିକ ଆକଳନ କର ଏବଂ ଉତ୍ତର ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର । ମନେରଖ ରକିକୁ 13 ବର୍ଷ ଏବଂ ଇତୁକୁ 11 ବର୍ଷ ।

ରକିର ଓଜନ 45 କି.ଗ୍ରା. ଏବଂ 1 କି.ଗ୍ରା. ଗୁଡ଼ର ମୂଲ୍ୟ ଟ. 70.00 ଧରିଲେ, ଦାନ କରାଯାଇଥିବା ଗୁଡ଼ର ମୂଲ୍ୟ = $45 \times 70 = \text{ଟ. } 3150.00$ ଅଟେ । ଇତୁର ଓଜନ 50 କି.ଗ୍ରା. ଏବଂ 1 କି.ଗ୍ରା. ଗହମର ମୂଲ୍ୟ ଟ. 50.00 ଧରିଲେ ଦାନ କରାଯାଇଥିବା ଗହମର ମୂଲ୍ୟ = $50 \times 50 = \text{ଟ. } 2500.00$ ହେବ ।

ଜଣେ ବ୍ୟକ୍ତିର ଓଜନ ସହିତ ସମାନ ପରିମାଣର ଜିନିଷ ଦାନ କରିବାର ପ୍ରଥାକୁ ‘ତୁଳାଭାର’ କୁହାଯାଏ । ଏହା ବହୁ ପୁରୁଣା ପ୍ରଥା ଏବଂ ଦକ୍ଷିଣ ଭାରତର ଅନେକ ସ୍ଥାନରେ ଏହାକୁ ଏବେ ମଧ୍ୟ ପାଳନ କରାଯାଉଛି ।

? ରକି ଭାବୁଛି, “ଯଦି ଗୁଡ଼ ବଦଳରେ ଆମେ 1 ଟଙ୍କିଆ ମୁଦ୍ରା ବ୍ୟବହାର କରୁ, ତେବେ ମୋ ଓଜନ ସହିତ ସମାନ ହେବାପାଇଁ କେତେ ମୁଦ୍ରା ଆବଶ୍ୟକ ?” ଆମେ ଏହା କିପରି ଜାଣିବା ?

ଏହିପରି ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକ ପାଇଁ ତୁମେ ନିମ୍ନ ସୋପାନଗୁଡ଼ିକ ଅନୁସରଣ କରିପାରିବ ।

1. ଅନୁମାନ : କୌଣସି ଗଣନା/ହିସାବ ନ କରି, ଉତ୍ତର କ’ଣ ହୋଇପାରେ ତାହା ବିଷୟରେ ସ୍ୱତଃସ୍ଫୂର୍ତ୍ତ (ଶୀଘ୍ର) ଅନୁମାନ କର ।

2. ଆକଳନ ଏବଂ ଆନୁମାନିକ ଗଣନା-

• (i) ଉତ୍ତର ପାଇବା ପାଇଁ ଆବଶ୍ୟକ ପରିମାଣଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସଂପର୍କ ବର୍ଣ୍ଣନା କର ।

• (ii) ଯଦି ଆବଶ୍ୟକ ତଥ୍ୟ ଉପଲବ୍ଧ ନ ଥାଏ, ତେବେ ଉପଯୁକ୍ତ ଅନୁମାନ ଓ ଆକଳନ କର ।

• (iii) ହିସାବ କର ଏବଂ ଉତ୍ତର ଖୋଜ (ଏବଂ ତୁମର ଅନୁମାନ, ଠିକ୍ ଉତ୍ତରର କେତେ ନିକଟତର ଥିଲା ଦେଖ ।)

? ମୁଦ୍ରା ସଂଖ୍ୟା ଶହ ଶହ, ହଜାର ହଜାର, ଲକ୍ଷ ଲକ୍ଷ, କୋଟି କୋଟି କିମ୍ବା ତା'ଠାରୁ ଅଧିକ ହେବ କି ? ଅନୁମାନ କରି କୁହ ।

? ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିପାଇଁ ଆବଶ୍ୟକୀୟ ଅନୁମାନ ଏବଂ ଆକଳନ କରି ଉତ୍ତର ଖୋଜ । ମନେରଖ, ଆମେ ଏଠାରେ ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର ଖୋଜୁନାହୁଁ ବରଂ ଏକ ଯୁକ୍ତିଯୁକ୍ତ ନିକଟତର ଉତ୍ତର ଆକଳନ କରୁଛୁ । (ଗୋଟିଏ ଏକ ଟଙ୍କିଆ ମୁଦ୍ରାର ଓଜନ ପାଖାପାଖି କେତେ ହେବ ?)

ପ୍ରାରମ୍ଭରେ, ତୁମର ଅନୁମାନ ଓ ଉତ୍ତର ମଧ୍ୟରେ ଅନେକ ଫରକ ଥାଇପାରେ, ମାତ୍ର ଏହା ସଠିକ୍ ମାର୍ଗ । ତୁମେ ଏହାକୁ ବାରମ୍ବାର ଏବଂ ବିଭିନ୍ନ ପରିସ୍ଥିତିରେ ଚେଷ୍ଟା କଲେ ଭଲ ହେବ । ଅନୁମାନ କରି ଆକଳିତ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ବିଭିନ୍ନ ପରିମାଣ ସଂପର୍କରେ ଏହା ପ୍ରତ୍ୟକ୍ଷ ଜ୍ଞାନ ସୃଷ୍ଟି କରେ ।

ଇତୁ ପଚାରିଲା, ଯଦି ଆମେ 5 ଟଙ୍କିଆ ମୁଦ୍ରା କିମ୍ବା 10 ଟଙ୍କିଆ ନୋଟ୍ ବ୍ୟବହାର କରୁ, ଏହା କେତେ ଟଙ୍କା ହୋଇପାରେ ।

? ପ୍ରଥମେ ଅନୁମାନ କର । ତା'ପରେ ସମାଧାନ କର । (ଜାଣି ନଥିବା ବିବରଣୀ ବିଷୟରେ ଆବଶ୍ୟକୀୟ ଏବଂ ଯୁକ୍ତିଯୁକ୍ତ ଅନୁମାନ କର ଏବଂ ଉତ୍ତର ପାଇବାକୁ ଚେଷ୍ଟାକର)

ଇତୁ କହିଲା, “ଯେତେବେଳେ ମୁଁ ବଡ଼ ହେବି, ପ୍ରତିବର୍ଷ ମୁଁ ମୋ ଓଜନର ନୋଟବୁକ୍ ଦାନ କରିବି ।” ରକି କହିଲା, “ଯେତେବେଳେ ମୁଁ ବଡ଼ ହେବି ପ୍ରତିବର୍ଷ ମୁଁ ମୋ ଓଜନର ଅନ୍ନଦାନ କରିବି ।”

ଗାଣିତିକ କଥାବାର୍ତ୍ତା

? ଏହି ଦାନରୁ ବର୍ଷକୁ କେତେ ଲୋକ ଉପକୃତ ହେବେ ? ପୁନଶ୍ଚ ଖୋଜିବା ପୂର୍ବରୁ ପ୍ରଥମେ ଅନୁମାନ କର ।

ରକି ଓ ଇତୁ ଆଉ କେହି କହୁଥିବାର ଶୁଣିଲେ– “ଆମେ ଏହି ସ୍ଥାନରେ ପହଞ୍ଚିବା ପାଇଁ 400 କି.ମି. ପଦଯାତ୍ରା କଲୁ । ଆମେ ଆଜି ସକାଳୁ ପହଞ୍ଚିଲୁ ।”

? ସେମାନେ କେତେ ସମୟ ପୂର୍ବରୁ ଯାତ୍ରା ଆରମ୍ଭ କରିଥିବେ ?

? ଆବଶ୍ୟକୀୟ ଅନୁମାନ ଓ ଆକଳନ କରି ଉତ୍ତର ପାଇବାକୁ ଚେଷ୍ଟାକର । ହିସାବ ପାଇବା ପୂର୍ବରୁ ପ୍ରଥମେ ଅନୁମାନ କର ଏବଂ ଯାଞ୍ଚ କରି ଦେଖ ଯେ, ତୁମର ଅନୁମାନ କେତେ ଠିକ୍ ଥିଲା ।

ଶିକ୍ଷକଙ୍କ ପାଇଁ ସୂଚନା : ଅନୁମାନଗୁଡ଼ିକ ବେଳେବେଳେ ବହୁତ ଭିନ୍ନ ହୋଇପାରେ ଏବଂ ଫଳସ୍ୱରୂପ ଏହାକୁ ବ୍ୟବହାର କରି ତୁମେ ପାଉଥିବା ଉତ୍ତରଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟ ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ହୋଇପାରେ, ମାତ୍ର ଏହା ସଂପୂର୍ଣ୍ଣ ଠିକ୍ । ପରିସ୍ଥିତିକୁ ଠିକ୍ ଭାବେ ମଡ଼େଲିଂ କରିବା ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ । ଭିନ୍ନଭିନ୍ନ ଉପାୟରେ ମଧ୍ୟ ଏହା କରାଯାଇପାରେ । ଅଭ୍ୟାସ ସହିତ ଆକଳନର ସଠିକତା ମଧ୍ୟ ବୃଦ୍ଧି ପାଇଥାଏ ।

ପଦଯାତ୍ରା ହେଉଛି ଧାର୍ମିକ କିମ୍ବା ଆଧ୍ୟାତ୍ମିକ ଅନୁସନ୍ଧାନର ଏକ ପାରମ୍ପରିକ ପ୍ରଥା । ଆମ ଦେଶର ବିଭିନ୍ନ ଧର୍ମର ଲୋକମାନେ ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ନାମ ଓ ଉଦ୍ଦେଶ୍ୟ ଥାଇ ଉପଯୁକ୍ତ ତୀର୍ଥଯାତ୍ରା କିମ୍ବା ଆଧ୍ୟାତ୍ମିକ ଯାତ୍ରାରେ ଚାଲିଥାନ୍ତି ।

କେତେକ ତୀର୍ଥଯାତ୍ରା ହେଉଛି “ଆଜମେର ଦରଘା” ଜିୟାରତ, ପଣ୍ଡରପୁର ୱାରୀ, କାଶ୍ମୀର ଯାତ୍ରା, ସାବରିମାଳା ଯାତ୍ରା, ସମ୍ମେତ ଶିଖରଜୀ ଯାତ୍ରା, ଲୁମ୍ବିନୀରୁ ସାରନାଥ ଯାତ୍ରା ।

[ଚିତ୍ର ବର୍ଣ୍ଣନା: ପିଲାମାନେ ଚନ୍ଦ୍ର ଆଡ଼କୁ ଲମ୍ବିଥିବା ଏକ ବିରାଟ ସିଡ଼ି ଉପରକୁ ଦେଖୁଥିବାର କାଳ୍ପନିକ ଚିତ୍ର ।]

ଆଧୁନିକ ପରିବହନର ବିକାଶ ପୂର୍ବରୁ ଲୋକମାନେ ଚାଲିଚାଲି ଏକ ସ୍ଥାନରୁ ଅନ୍ୟ ସ୍ଥାନକୁ ଯାଉଥିଲେ- ବେଳେବେଳେ ବ୍ୟବସାୟୀ, ସାଧୁ ଏବଂ ପଣ୍ଡିତମାନେ ମରୁଭୂମି, ପାହାଡ଼ ଏବଂ ନଦୀ ପାରହୋଇ ବିଶ୍ୱର ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରାନ୍ତକୁ ହଜାର ହଜାର କିଲୋମିଟର ଚାଲିଚାଲି ଯାଉଥିଲେ ।

? ଯଦି ଜଣେ ବ୍ୟକ୍ତି ନିରନ୍ତର ଚାଲିଥାଏ, ତେବେ ସେ ନିଜ ଜୀବନକାଳରେ କେତେଥର ପୃଥିବୀକୁ ପରିକ୍ରମା (ବିଶ୍ୱ ପରିକ୍ରମଣ) କରିପାରିବେ ? ପୃଥିବୀର ପରିଧିକୁ 40,000 କି.ମି. ବୋଲି ଧରି ନିଆଯାଉ ।

ରୈଖିକ ବୃଦ୍ଧି ବନାମ ଘାତାଙ୍କୀୟ ବୃଦ୍ଧି

ରକି, ଇତୁକୁ ଏକ କାଳ୍ପନିକ ବିଜ୍ଞାନ କାହାଣୀ କହିଲା । କାହାଣୀରେ ସେମାନେ ଚନ୍ଦ୍ରକୁ ଚଢ଼ିବାପାଇଁ ସିଡ଼ି ତିଆରି କରିଛନ୍ତି । “... ମୁଁ ଭାବୁଛି, ଯଦି ଆମର ପ୍ରକୃତରେ ଏହିପରି ସିଡ଼ି ଥାଆନ୍ତା, ତେବେ ସେଥିରେ କେତୋଟି ପାହାଚ ଥାଆନ୍ତା ?”

? ତୁମେ କ’ଣ ଭାବୁଛ ? ପ୍ରଥମେ ସ୍ୱତଃସ୍ଫୂର୍ତ୍ତ ଅନୁମାନ କର ।

? ପାହାଚ ସଂଖ୍ୟା ହଜାର, ଲକ୍ଷ, କୋଟି କିମ୍ବା ତା’ଠାରୁ ଅଧିକ ହେବ କି ?

ଏହାକୁ ଜାଣିବା ପାଇଁ, ଆମକୁ ସିଡ଼ିର କ୍ରମାଗତ ପାହାଚ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ବ୍ୟବଧାନ ଜାଣିବାକୁ ପଡ଼ିବ । ଆସ, ଆମେ ଏହି ବ୍ୟବଧାନକୁ 20 ସେ.ମି. ବୋଲି ଧରିନେବା । ସମସ୍ୟାଟିକୁ ଚିତ୍ରରେ ଦର୍ଶାଯାଇଥିବା ପରିସ୍ଥିତି ଭଳି କଳ୍ପନା କରିବା ।

[ଚିତ୍ର ବର୍ଣ୍ଣନା: ପୃଥିବୀରୁ ଚନ୍ଦ୍ର ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସିଡ଼ିର ଏକ ରେଖାଚିତ୍ର, ଯେଉଁଥିରେ ପାହାଚ ମଧ୍ୟରେ ବ୍ୟବଧାନ 20 ସେ.ମି. ଏବଂ ମୋଟ ଦୂରତା 3,84,400 କି.ମି. ବୋଲି ଦର୍ଶାଯାଇଛି ।]

? ଆମକୁ ଜାଣିବାକୁ ହେବ ଯେ, 3,84,400 କି.ମି. ରେ କେତେ 20 ସେ.ମି. ଅଛି ।

ଯଦି ଆମେ ହିସାବ କରୁ, ତେବେ ଫଳାଫଳ 1,92,20,00,000 ପାହାଚ ମିଳିବ । ଏହା 192 କୋଟି 20 ଲକ୍ଷ ପାହାଚ କିମ୍ବା 1 ବିଲିୟନ 922 ମିଲିୟନ୍ ପାହାଚ ସହ ସମାନ । ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦକ୍ଷେପ ପରେ ପୃଥିବୀଠାରୁ ଦୂରତାରେ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ବୃଦ୍ଧି (ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦକ୍ଷେପ 20 ସେ.ମି. ବୃଦ୍ଧି) କୁ ରୈଖିକ ବୃଦ୍ଧି କୁହାଯାଏ ।

ପୃଥିବୀ ଏବଂ ଚନ୍ଦ୍ର ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା ଅତିକ୍ରମ କରିବାକୁ ରୈଖିକ ବୃଦ୍ଧି ସହିତ 1,92,20,00,000 ପଦକ୍ଷେପ ସଂଯୋଜିତ ହୋଇଥାଏ, ଯେତେବେଳେ କି, ଏକ କାଗଜଖଣ୍ଡକୁ ଘାତୀୟ ବୃଦ୍ଧି ସହିତ 46 ଥର ଭାଙ୍ଗିଲେ ଏହା ସମ୍ଭବ ହୋଇପାରିବ । ରୈଖିକ ବୃଦ୍ଧି ଯୋଗାତ୍ମକ ଅଟେ ($20 + 20 + 20 + \dots$), ଯେତେବେଳେ କି ଘାତୀୟ ବୃଦ୍ଧି ଗୁଣନାତ୍ମକ ଅଟେ ($0.001 \times 2 \times 2 \times 2 \dots$) ।

ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ ପୂର୍ବରୁ ଆମେ ଘାତୀୟ ବୃଦ୍ଧିର କିଛି ଉଦାହରଣ ନେଇଛୁ । ଯଥା— ‘ଝଟକୁଥିବା ପଥର’, ‘କୁହୁକ ପୋଖରୀ’, ‘କେତେ ସମାବେଶ’ । ଆମେ ପରବର୍ତ୍ତୀ ଅଧ୍ୟାୟରେ ଏବଂ ପରବର୍ତ୍ତୀ ଶ୍ରେଣୀରେ ଏହିପରି ଅନେକ ରୋଚକ ଉଦାହରଣ ପାଇପାରିବା ।

? ତୁମେ ରୈଖିକ ବୃଦ୍ଧି ଏବଂ ଘାତାଙ୍କୀୟ ବୃଦ୍ଧିର କିଛି ଉଦାହରଣ ଦେଇପାରିବ କି ?

---

ବୃହତ୍ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ବୁଝିବା :

ଗତବର୍ଷ ଆମେ ଲକ୍ଷ ଓ କୋଟି ଏବଂ ମିଲିୟନ୍ ଓ ବିଲିୟନ୍ ବିଷୟରେ ଶିଖିଥିଲେ । ଏକଲକ୍ଷ ହେଉଛି $10^5 (1,00,000)$, ଏକ କୋଟି ହେଉଛି $10^7 (1,00,00,000)$, ଏବଂ ଏକ ଅରବ ହେଉଛି $10^9 (1,00,00,00,000)$ ।

ତୁମେ ବୋଧହୁଏ ବିଶ୍ୱର ମାନବ ଜନସଂଖ୍ୟାର ଆକାର ଜାଣିଥାଇପାର । ତୁମେ କେବେ ଭାବିଛ କି ବିଶ୍ୱରେ କେତେ ପିମ୍ପୁଡ଼ି ଥାଇପାରନ୍ତି, କେତେବର୍ଷ ପୂର୍ବରୁ ମନୁଷ୍ୟ ଜନ୍ମ ହୋଇଥିଲେ ? ଏହି ବିଭାଗରେ, ଆମେ ଅରବ ଓ ବିଲିୟନ୍ ଠାରୁ ଯଥେଷ୍ଟ ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ବିଷୟରେ ଜାଣିବା । ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଆମେ ଏହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଦର୍ଶାଇବା ଏବଂ ତୁଳନା କରିବାପାଇଁ 10 ର ଘାତ ବ୍ୟବହାର କରିବା ।

• $10^0$ : 2025 ମଧ୍ୟଭାଗ ସୁଦ୍ଧା ବିଶ୍ୱରେ ମାତ୍ର ଦୁଇଟି ଉତ୍ତର ଗୋଲାର୍ଦ୍ଧର ଧଳା ଗଣ୍ଡା ବଞ୍ଚିଛନ୍ତି; ଉଭୟ ମାଈ ଏବଂ ସେମାନେ କେନିଆର ଓଲପେଜେଟା ସଂରକ୍ଷଣ କେନ୍ଦ୍ରରେ ରହନ୍ତି ($= 2 \times 10^0$) ।

• $10^1$ : 2024 ପ୍ରାରମ୍ଭ ସୁଦ୍ଧା, ହାଇନାନ୍ ଗିବନ୍‌ମାନଙ୍କର ସଂଖ୍ୟା ମାତ୍ର 42 ($\approx 4 \times 10^1$) ଥିଲା ।

• $10^2$ : 2025 ମଧ୍ୟଭାଗ ସୁଦ୍ଧା ଜୀବିତ ଥିବା କାକାପୋ ସଂଖ୍ୟା 242 ($\approx 2 \times 10^2$) ।

• $10^3$ : ବିଶ୍ୱରେ 3000 ରୁ କମ୍ ସଂଖ୍ୟକ କୋମୋଡ଼ା ଡ୍ରାଗାନ୍ ଅଛନ୍ତି । ସମସ୍ତେ ଇଣ୍ଡୋନେସିଆରେ ($\approx 3 \times 10^3$) ଅଛନ୍ତି ।

• $10^4$ : 2005 ଆକଳନରୁ ଜଣାପଡ଼ିଛି ଯେ ମେନ୍‌ଡ୍ ଓଲ୍ଫମାନଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା 17,000 ରୁ ଅଧିକ । ଅଧିକାଂଶ ବ୍ରାଜିଲ୍‌ରେ ଅଛନ୍ତି ($\approx 1.7 \times 10^4$) ।

[ଚିତ୍ର ବର୍ଣ୍ଣନା: ବିଭିନ୍ନ ବିରଳ ପ୍ରାଣୀ (ଗଣ୍ଡା, ଗିବନ୍, କୋମୋଡୋ ଡ୍ରାଗନ ଆଦି) ଥିବା ଡାକଟିକଟର ଚିତ୍ରାବଳୀ ।]

• $10^5$ : 2018 ସୁଦ୍ଧା, ପ୍ରାୟ 4.15 ଲକ୍ଷ ଆଫ୍ରିକୀୟ ହାତୀ ($\approx 4 \times 10^5$) ଅଛନ୍ତି ।

• $10^6$ : 2025 ସୁଦ୍ଧା ପ୍ରାୟ 50 ଲକ୍ଷ / 5 ନିୟୁତ ଆମେରିକୀୟ ଆଲିଗେଟର ଅଛନ୍ତି ($5 \times 10^6$) ।

• $10^7$ : ବିଶ୍ୱରେ ଓଟ ସଂଖ୍ୟା 3.5 କୋଟି / 35 ନିୟୁତରୁ ଅଧିକ ହେବ ବୋଲି ଆକଳନ କରାଯାଇଛି ($3.5 \times 10^7$) । ଭାରତରେ କେବଳ 2.5 ଲକ୍ଷ ଅଛନ୍ତି । ବିଶ୍ୱରେ ଘୋଡ଼ା ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରାୟ 5.8 କୋଟି / 58 ନିୟୁତ ($5.8 \times 10^7$) ଅଟେ । ଯେଉଁଥିରୁ ପ୍ରାୟ ଅଧା ଆମେରିକାରେ ଅଛନ୍ତି ।

• $10^8$ : ବିଶ୍ୱବ୍ୟାପୀ 20 କୋଟି ବା 200 ନିୟୁତରୁ ଅଧିକ ($2 \times 10^8$) ପାଣି ମଇଁଷି ଅଛନ୍ତି ବୋଲି ଆକଳନ କରାଯାଇଛି, ଯେଉଁମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଅଧିକାଂଶ ଏସିଆରେ ଅଛନ୍ତି ।

• $10^9$ : ବିଶ୍ୱର ଷ୍ଟାର୍ଲିଂ ପକ୍ଷୀମାନଙ୍କର ଆନୁମାନିକ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରାୟ 1.3 ଅରବ / 1.3 ବିଲିୟନ୍ ($1.3 \times 10^9$) ଅଟେ । 2025 ସୁଦ୍ଧା ବିଶ୍ୱର ଜନସଂଖ୍ୟା 8.2 ଅରବ / 8.2 ବିଲିୟନ୍ ($8.2 \times 10^9$) ଅଟେ ।

[ଚିତ୍ର ବର୍ଣ୍ଣନା: ବ୍ରିଟେନ୍‌ର ଏକ ଫାର୍ମ ଉପରେ ଏକ ଷ୍ଟାର୍ଲିଂ ମାର୍ମୁରେସନ୍‌ର ଗୋଟିଏ ଚିତ୍ର । ଷ୍ଟାର୍ଲିଂ ମାର୍ମୁରେସନ୍ ହେଉଛି ଷ୍ଟାର୍ଲିଂ ପକ୍ଷୀଙ୍କର ସମକାଳିକ/ସିଙ୍କ୍ରୋନାଇଜଡ୍, ଘୂର୍ଣ୍ଣନଶୀଳ ପ୍ୟାଟର୍ନରେ ଉଡ଼ୁଥିବା ଚିତ୍ତାକର୍ଷକ ନଭମଣ୍ଡଳୀୟ ଦୃଶ୍ୟ । ଏହାକୁ ପ୍ରାୟତଃ “କୋରିଓଗ୍ରାଫ୍ ନୃତ୍ୟ” ଭାବରେ ବର୍ଣ୍ଣନା କରାଯାଇଛି ।]

? ବିଶ୍ୱ ଜନସଂଖ୍ୟା ପ୍ରାୟ $8 \times 10^9$ ଓ ଆଫ୍ରିକୀୟ ହାତୀ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି $4 \times 10^5$ । ଆମେ କହିପାରିବା କି, ପ୍ରତ୍ୟେକ ହାତୀ ପାଇଁ ପ୍ରାୟ 20,000 ଲୋକ ଅଛନ୍ତି ।

• $10^{10}$ : ଯେକୌଣସି ସମୟରେ ବିଶ୍ୱସ୍ତରୀୟ କୁକୁଡ଼ା ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରାୟ 33 ବିଲିୟନ୍ ($3.3 \times 10^{10}$) ଅଟେ ।

• $10^{12}$ : ବିଶ୍ୱରେ ଗଛସଂଖ୍ୟା (2023) ପ୍ରାୟ 30 ଖରବ / 3 ଟ୍ରିଲିଅନ୍ ($3 \times 10^{12}$) ଥିବାର ହିସାବ କରାଯାଇଛି । ଏକ ଖରବ 100 ଅରବ ଅଟେ ଏବଂ ଏକ ଟ୍ରିଲିୟନ୍ 1000 ବିଲିୟନ୍ ଅଟେ ।

• $10^{14}$ : ବିଶ୍ୱର ଆନୁମାନିକ ମଶା ସଂଖ୍ୟା (2023) 11 ନିଲ୍ / 110 ଟ୍ରିଲିୟନ୍ । ଆଣ୍ଟାର୍କଟିକ୍ କ୍ରିଲ୍‌ର ଆନୁମାନିକ ସଂଖ୍ୟା 50 ନିଲ୍ / 500 ଟ୍ରିଲିୟନ୍ ($5 \times 10^{14}$) ଅଟେ ।

• $10^{15}$ : ଭୃଙ୍ଗକୀଟର ଆନୁମାନିକ ସଂଖ୍ୟା 1 ପଦ୍ମ / 1 କ୍ୱାଡ୍ରିଲିୟନ୍ ($1 \times 10^{15}$) । କେଞ୍ଚୁଆ ସଂଖ୍ୟାର ଆନୁମାନିକ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟ 1 ପଦ୍ମ / 1 କ୍ୱାଡ୍ରିଲିୟନ ଅଟେ ।

• $10^{16}$ : ପୃଥିବୀର ପିମ୍ପୁଡ଼ିମାନଙ୍କର ସଂଖ୍ୟା 20 ପଦ୍ମ / 20 କ୍ୱାଡ୍ରିଲିୟନ୍ ($2 \times 10^{16}$) । ସମସ୍ତ ବଣୁଆ ପକ୍ଷୀ ଏବଂ ବଣୁଆ ସ୍ତନ୍ୟପାୟୀ ପ୍ରାଣୀମାନଙ୍କୁ ମିଶାଇଲେ ମଧ୍ୟ କେବଳ ପିମ୍ପୁଡ଼ି ସେମାନଙ୍କଠାରୁ ଅଧିକ ଓଜନର ଅଟନ୍ତି ।

• $10^{21}$ : ପୃଥିବୀର ସମସ୍ତ ବେଳାଭୂମି ଏବଂ ମରୁଭୂମିରେ ଥିବା ବାଲିକଣିକାର ସଂଖ୍ୟା $10^{21}$ ବୋଲି ଅନୁମାନ କରାଯାଏ । ଏହି ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରତ୍ୟେକ ପିମ୍ପୁଡ଼ିକୁ 10 ଟି ଛୋଟ ବାଲି ତିଆରି ଦୁର୍ଗରେ ରହିବାପାଇଁ ମଧ୍ୟ ଯଥେଷ୍ଟ ହେବ ।

• $10^{23}$ : ଦୃଶ୍ୟମାନ ବ୍ରହ୍ମାଣ୍ଡରେ ତାରାମାନଙ୍କର ଆନୁମାନିକ ସଂଖ୍ୟା $2 \times 10^{23}$ ଅଟେ ।

• $10^{25}$ : ପୃଥିବୀ ଉପରେ ଥିବା ଜଳବିନ୍ଦୁର ଆନୁମାନିକ ସଂଖ୍ୟା $2 \times 10^{25}$ (ପ୍ରତି ମିଲିଲିଟରରେ 16 ବୁନ୍ଦା ଥିବା ଧରାଯାଇଛି)

[ଚିତ୍ର ବର୍ଣ୍ଣନା: ଏକ ଡଙ୍ଗାରେ ବସିଥିବା ସମସ୍ତ ପଶୁପକ୍ଷୀଙ୍କ ଓଜନକୁ ନିକିତିରେ ତୁଳନା କରାଯାଇଛି ଏବଂ ପିମ୍ପୁଡ଼ି ପାଇଁ ବାଲିରେ ତିଆରି ବିଭିନ୍ନ ଦୁର୍ଗର ଚିତ୍ର ଦିଆଯାଇଛି ।]

? ବୈଜ୍ଞାନିକ ସଂକେତ ବ୍ୟବହାର କରି ଗଣନା କର ଏବଂ ଉତ୍ତର ଲେଖ :

• (i) ବିଶ୍ୱରେ ମନୁଷ୍ୟ ଓ ପିମ୍ପୁଡ଼ିମାନଙ୍କ ସଂଖ୍ୟାର ଅନୁପାତ କେତେ ?

• (ii) ଯଦି ଷ୍ଟାର୍ଲିଂ ପକ୍ଷୀମାନଙ୍କର ଏକ ଦଳରେ 10,000 ପକ୍ଷୀ ଥାଆନ୍ତି, ତେବେ ବିଶ୍ୱରେ କେତେ ଦଳ ପକ୍ଷୀ ଥାଇପାରନ୍ତି ?

• (iii) ଯଦି ଗୋଟିଏ ଗଛରେ $10^5$ ସଂଖ୍ୟକ ପତ୍ରଥାଏ, ତେବେ ପୃଥିବୀର ସମସ୍ତ ଗଛରେ ଥିବା ପତ୍ର ସଂଖ୍ୟା କେତେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

• (iv) ଯଦି ତୁମେ କାଗଜ-ଫର୍ଦ୍ଦଗୁଡ଼ିକୁ ଉପରକୁ ଉପର ଥାକ କରି ରଖିବ, ତେବେ ଚନ୍ଦ୍ରରେ ପହଞ୍ଚିବା ପାଇଁ ତୁମକୁ କେତେ ଫର୍ଦ୍ଦ କାଗଜ ଆବଶ୍ୟକ ହେବ ?

---

ତୁମର ବୟସ କହିବାର ଭିନ୍ନ ଉପାୟ !

“ତୁମର ବୟସ କେତେ ?” ଇତୁ ପଚାରିଲା:

“ମୁଁ କିଛି ସପ୍ତାହ ପୂର୍ବରୁ 13 ବର୍ଷ ପୂରଣ କରିଛି” ରକି ଉତ୍ତର ଦେଲା ।

“ତୁମ ବୟସ କେତେ ?” ଇତୁ ପୁଣି ପଚାରିଲା ।

“ଆଜି ମୋତେ 4840 ଦିନ” ରକି କହିଲା ।

“ତୁମକୁ କେତେ ବୟସ ?” ଇତୁ ଆଉ ଥରେ ପଚାରିଲା,

“ମୋର ବୟସ ---- ଘଣ୍ଟା !” ରକି କହିଲା ।

ଏହି ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ପୂର୍ବରୁ ଏକ ଆକଳନ କର ।

ଇତୁ “ଆଜି ମୋର ବୟସ 4070 ଦିନ । ତୁମେ ମୋର ଜନ୍ମ ତାରିଖ ଖୋଜି ପାରିବ କି ?”

[ଚିତ୍ର ବର୍ଣ୍ଣନା: ଇତୁ ହସି ହସି ରକିକୁ କହୁଛି: "ମୋର ବୟସ 69,70,710..."]

? ଯଦି ତୁମେ ଏକ ନିୟୁତ ସେକେଣ୍ଡ ବଞ୍ଚିଛ, ତେବେ ତୁମକୁ କେତେ ବୟସ ହେବ ?

ଆମେ କିଛି କାର୍ଯ୍ୟକ୍ରମ ଏବଂ ପ୍ରାକୃତିକ ଘଟଣାର ଆନୁମାନିକ ସମୟ ଏବଂ ସମୟରେଖାକୁ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରିବା ଏବଂ ଏହି ପରିମାଣଗୁଡ଼ିକୁ 10 ର ଘାତ ବ୍ୟବହାର କରି ଉପସ୍ଥାପନ କରିବା ଏବଂ ତୁଳନା କରିବା ।

ଲକ୍ଷ୍ୟକର ଯେ $10^9\text{ ସେକେଣ୍ଡ}$ ମନୁଷ୍ୟର ଜୀବନକାଳ (75-77 ବର୍ଷ) କ୍ରମରେ ଅଛି । ମାତ୍ର ଆଧୁନିକ ପଦାର୍ଥ ବିଜ୍ଞାନର ତଥ୍ୟ ଅନୁଯାୟୀ $10^{18}\text{ ସେକେଣ୍ଡ}$ ପୂର୍ବରୁ ବ୍ରହ୍ମାଣ୍ଡର ଅସ୍ତିତ୍ୱ ହିଁ ନଥିଲା; ଘାତାଙ୍କୀୟ ସଂକେତ ଅତି ବଡ଼ ପରିମାଣ (ସଂଖ୍ୟା) କୁ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଢଙ୍ଗରେ ପ୍ରକାଶ କରିପାରିବ ।

? ବୈଜ୍ଞାନିକ ସଂକେତ ବ୍ୟବହାର କରି ଗଣନା କର ଏବଂ ଉତ୍ତର ଲେଖ:

• (i) ଯଦି ପ୍ରତି ସେକେଣ୍ଡରେ ଗୋଟିଏ ତାରା ଗଣାଯାଏ, ତେବେ ବ୍ରହ୍ମାଣ୍ଡର ସମସ୍ତ ତାରା ଗଣନା କରିବାପାଇଁ କେତେ ସମୟ ଲାଗିବ ? ବୈଜ୍ଞାନିକ ସଂକେତ ବ୍ୟବହାର କରି ସେକେଣ୍ଡ ଏକକରେ ଉତ୍ତର ଦିଅ ।

• (ii) ଯଦି ଜଣେ ବ୍ୟକ୍ତି 10 ସେକେଣ୍ଡରେ ଏକ ଗ୍ଲାସ ପାଣି (200 ମି.ଲି.) ପିଇପାରନ୍ତି, ତେବେ ପୃଥିବୀରେ ଥିବା ସବୁ ପାଣି ପିଇ ଶେଷ କରିବାକୁ ତାଙ୍କୁ କେତେ ସମୟ ଲାଗିବ ?

ବହୁତ ବଡ଼ବଡ଼ ରାଶି (ସଂଖ୍ୟା) ଆମ ବୋଧଶକ୍ତି କିମ୍ବା ଅନୁଭବ ବାହାରେ । ସେଗୁଡ଼ିକୁ ବୁଝିବା ପାଇଁ, ଆମେ ଅଭ୍ୟସ୍ତ ବା ପରିଚିତ ରାଶି ସଂଖ୍ୟା ସହିତ ତୁଳନା କରିପାରିବା । ଏହା, ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ବା ମାପ କେତେ ବଡ଼, ତାହାର ସାରକଥା ଜଣାଇ ଦେଇପାରିବ !

---

2.5 ଇତିହାସ ପୃଷ୍ଠାରୁ :

ପ୍ରଥମ ଶତାବ୍ଦୀର ଏକ ବୌଦ୍ଧଗ୍ରନ୍ଥ ‘ଲଳିତା ବିସ୍ତାର’ରେ ଆମେ $10^{53}$ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ (10) ଦଶର ଅଯୁଗ୍ମ ଘାତାଙ୍କ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ନାମ ଦେଖିବାକୁ ପାଇଥାଉ । ଗଣିତଜ୍ଞ ଅର୍ଜୁନ ଏବଂ ରାଜକୁମାର ଗୌତମ (ବୋଧିସତ୍ତ୍ୱ) ଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ହୋଇଥିବା କଥୋପକଥନର ଏକ ଅଂଶ ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଛି ।

“ଶହେ କୋଟିକୁ ଏକ ଅୟୁତ ($10^9$), ଶହେ ଅୟୁତକୁ ଏକ ନିୟୁତ ($10^{11}$), ଶହେ ନିୟୁତକୁ ଏକ କଙ୍କର ($10^{13}$) କୁହାଯାଏ । ଶହେ ସର୍ବବଳକୁ ଏକ ବିସମ୍ଭା ଗତି ($10^{47}$) କୁହାଯାଏ । ଶହେ ବିସମ୍ଭା ଗତିକୁ ଏକ ସର୍ବଜ୍ଞ ($10^{49}$) କୁହାଯାଏ, ଶହେ ସର୍ବଜ୍ଞକୁ ଏକ ବିଭୂତାଙ୍ଗମା ($10^{51}$) କୁହାଯାଏ, ଶହେ ବିଭୂତାଙ୍ଗମା ହେଉଛି ଏକ ତାଲକ୍ଷଣ ($10^{53}$) ।”

ମହାବୀରାଚାର୍ଯ୍ୟ ତାଙ୍କ ‘ଗଣିତ-ସାର-ସଂଗ୍ରହ’ରେ 24 ଟି ପଦର ($10^{23}$ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ) ଏକ ତାଲିକା ପ୍ରଦାନ କରିଛନ୍ତି । ଏକ ଅଜ୍ଞାତ ଜୈନଗ୍ରନ୍ଥ ଅମଳସିଦ୍ଧ $10^{26}$ (ଦଶ ଅନନ୍ତ) ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଦଶର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଘାତ ପାଇଁ ନାମ ସହିତ ଏକ ତାଲିକା ଦେଇଛନ୍ତି ।

‘କାକାୟନ’ର ଏକ ‘ପାଲି’ ବ୍ୟାକରଣ ଗ୍ରନ୍ଥ $10^{140}$ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ନାମ ତାଲିକାଭୁକ୍ତ କରିଛନ୍ତି; ଯାହାକୁ ‘ଅସାଙ୍ଖ୍ୟେୟ’ କୁହାଯାଏ ।

‘ଦଶ’ର ବୃହତ ଘାତ ଗୁଡ଼ିକୁ ପ୍ରକାଶ କରିବାପାଇଁ ଜୈନ ଓ ବୌଦ୍ଧଗ୍ରନ୍ଥଗୁଡ଼ିକ ସହସ୍ର (ହଜାର) ଏବଂ କୋଟି (ଦଶନିୟୁତ) ଭଳି ଆଧାର ବ୍ୟବହାର କରିଥାନ୍ତି । ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ପ୍ରୟୁତ ($10^7$) ଦଶ ଶତ ସହସ୍ର (ଦଶ ଶହ ହଜାର ହେବ) ।

ଆଧୁନିକ ନାମକରଣ ମଧ୍ୟ ଏହାର ଅନୁରୂପ । ଯଥା -

ଏହିପରି ଭାବରେ, ଏକ ଶହ ଖରବ ହେଉଛି ଏକ ନିଲ୍ ($10^{13}$), ଏକ ଶହ ନିଲ୍ ହେଉଛି ଏକ ପଦ୍ମ ($10^{15}$), ଏକ ଶହ ପଦ୍ମ ହେଉଛି ଏକ ଶଙ୍ଖ ($10^{17}$) ଏବଂ ଏକ ଶହ ଶଙ୍ଖ ହେଉଛି ଏକ ମହା ଶଙ୍ଖ ($10^{19}$) ।

ଆମେରିକୀୟ / ଆନ୍ତଃଜାତୀୟ ସ୍ୱରୂପ ହେଉଛି :

ଏହିପରି ଭାବରେ ଆଗକୁ ବଢ଼ିଲେ, ଏକ ହଜାର ଟ୍ରିଲିୟନ ହେଉଛି ଏକ କ୍ୱାଡ୍ରିଲିୟନ ($10^{15}$); ଏହି ସଂରଚନା ଆଗକୁ ଜାରି ରହିଛି । ନାମ ଗୁଡ଼ିକୁ ଲକ୍ଷ୍ୟ କର, ମିଲିୟନ ($10^6$), ବିଲିୟନ ($10^9$), ଟ୍ରିଲିୟନ ($10^{12}$), କ୍ୱାଡ୍ରିଲିୟନ ($10^{15}$), କ୍ୱିଣ୍ଟିଲିୟନ ($10^{18}$), ସେକ୍ସଟିଲିୟନ ($10^{21}$), ସେପ୍ଟିଲିୟନ ($10^{24}$), ଅକ୍ଟିଲିୟନ ($10^{27}$), ନୋନିଲିୟନ ($10^{30}$), ଡେସିଲିୟନ ($10^{33}$) ।

? ପ୍ରତ୍ୟେକ ନାମର ପ୍ରଥମ ଅଂଶ କ’ଣ ସୂଚାଇଥାଏ ?

$10^{100}$ ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ ଗୁଗୁଲ (googol) ମଧ୍ୟ କୁହାଯାଏ । ସମଗ୍ର ବ୍ରହ୍ମାଣ୍ଡରେ ପରମାଣୁଗୁଡ଼ିକର ଆନୁମାନିକ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି $10^{79}$ ରୁ $10^{82}$ । $10^{\text{googol}}$ ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ ଗୁଗୁଲପ୍ଲେକ୍ସ (googolplex) ମଧ୍ୟ କୁହାଯାଏ । ଏହି ସଂଖ୍ୟାଟି ଯେ କେତେ ବଡ଼ ତାହା କଳ୍ପନା କରିବା କଠିନ ।

ଭାରତରେ ବର୍ତ୍ତମାନ ସର୍ବୋଚ୍ଚ ମୂଲ୍ୟର ନୋଟ୍ ହେଉଛି 500 ଟଙ୍କା । ବିଶ୍ୱବ୍ୟାପୀ ଏ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସର୍ବୋଚ୍ଚ ମୂଲ୍ୟର ମୁଦ୍ରାନୋଟ୍ କ’ଣ ଥିଲା, ଅନୁମାନ କର । ଏ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଛପା ହୋଇଥିବା ସର୍ବୋଚ୍ଚ ମୂଲ୍ୟର ବ୍ୟାଙ୍କ ନୋଟ୍ ହେଉଛି ହଙ୍ଗେରୀରେ 1946 ମସିହାରେ ଛପା ହୋଇଥିବା 1 ସେକ୍ସଟିଲିୟନ ପେଙ୍ଗୋ ($10^{21}$ କିମ୍ବା 1 ମିଲିୟନ ବିଲପେଙ୍ଗୋ) ମୂଲ୍ୟର ଏକ ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର ନୋଟ୍ । କିନ୍ତୁ ଏହାକୁ କେବେ ପ୍ରଚଳନ/ବଣ୍ଟନ କରାଯାଇନଥିଲା । 2009 ମସିହାରେ, ଜିମ୍ବାୱେ ଏକ 100 ଟ୍ରିଲିୟନ ($10^{14}$) ଜିମ୍ବାୱେ ଡଲାର ନୋଟ ଛାପିଥିଲା, ଯାହାର ଛପା ସମୟର ମୂଲ୍ୟଥିଲା 30 ଡଲାର ।

[ଚିତ୍ର ବର୍ଣ୍ଣନା: ହଙ୍ଗେରୀର 1 ବିଲିୟନ ବିଲପେଙ୍ଗୋ (B-PENGO) ନୋଟ୍ ଏବଂ ଜିମ୍ବାୱେର 100 ଟ୍ରିଲିୟନ ଡଲାର (100,000,000,000,000) ବ୍ୟାଙ୍କ ନୋଟ୍‌ର ଚିତ୍ର ।]

---

? ନିଜେ କରି ଦେଖ :

1. $2^{224} \div 4^{32}$ ମାନର ଏକକ ସ୍ଥାନରେ ଥିବା ଅଙ୍କଟି କେତେ ? (ସୂଚନା $4 = 2^2$)

2. ଗୋଟିଏ ପାତ୍ରରେ 5 ଟି ବୋତଲ ଅଛି । ପ୍ରତିଦିନ ଗୋଟିଏ ନୂଆପାତ୍ର ଅଣାଯାଉଥାଏ । 40 ଦିନ ପରେ ସେଥିରେ କେତେ ନୂଆ ବୋତଲ ଥିବ ?

3. ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ସଂଖ୍ୟାକୁ ଦୁଇ କିମ୍ବା ଅଧିକ ଘାତାଙ୍କର ଗୁଣଫଳ ଭାବରେ ତିନୋଟି ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ଉପାୟରେ ଲେଖ; ଘାତାଙ୍କ ଗୁଡ଼ିକ ଯେକୌଣସି ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ହୋଇପାରିବ ।

(i) $64^3$ (ii) $192^8$ (iii) $31^{-5}$

4. ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉକ୍ତିକୁ ପରୀକ୍ଷା କର ଏବଂ କେଉଁଗୁଡ଼ିକ ‘ସର୍ବଦା ସତ୍ୟ’, ‘ବେଳେବେଳେ ସତ୍ୟ’ କିମ୍ବା ‘ଆଦୌ ସତ୍ୟ ନୁହେଁ’ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର; ତୁମର ଯୁକ୍ତିକୁ ବର୍ଣ୍ଣନା କର ।

(i) ଘନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ଅଟନ୍ତି ।

(ii) ଚତୁର୍ଥ ଘାତାଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ଅଟନ୍ତି ।

(iii) ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ପଞ୍ଚମ ଘାତାଙ୍କ ସେହି ସଂଖ୍ୟାର ଘନଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ।

(iv) ଦୁଇଟି ଘନସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ ଏକ ଘନସଂଖ୍ୟା ଅଟେ ।

(v) $q^{46}$ ସଂଖ୍ୟାଟି ଉଭୟ ଚତୁର୍ଥ ଘାତାଙ୍କ ଓ ଷଷ୍ଠ ଘାତାଙ୍କ ଅଟେ । ($q$ ଏକ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ) ।

5. ନିମ୍ନ ରାଶିଗୁଡ଼ିକୁ ସରଳ କର ଏବଂ ଘାତାଙ୍କୀୟ ରୂପରେ ଲେଖ;

(i) $10^{-2} \times 10^{-5}$ (ii) $5^7 \div 5^4$ (iii) $9^{-7} \div 9^4$ (iv) $(13^{-2})^{-3}$ (v) $m^5 n^{12}(mn)^9$

6. ଯଦି $12^2 = 144$, ତେବେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ପରିପ୍ରକାଶଗୁଡ଼ିକର ମାନ କେତେ ହେବ ?

(i) $(1.2)^2$ (ii) $(0.12)^2$ (iii) $(0.012)^2$ (iv) $120^2$

7. ସମାନ ମୂଲ୍ୟବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ଗୋଲ ବୁଲାଅ– $2^4 \times 3^6 \quad 6^4 = 3^2 \quad 6^{10} \quad 18^2 \times 6^2 \quad 6^{24}$

8. ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସ୍ଥଳରେ ବୃହତ୍ତର ସଂଖ୍ୟାଟିକୁ ଚିହ୍ନଟ କର ।

(i) $4^3$ କିମ୍ବା $3^4$ (ii) $2^8$ କିମ୍ବା $8^2$ (iii) $100^2$ କିମ୍ବା $2^{100}$

9. ଏକ ଡାଏରୀ ଫାର୍ମ ବର୍ଷକୁ 8.5 ବିଲିୟନ ପ୍ୟାକେଟ୍ କ୍ଷୀର ଉତ୍ପାଦନ କରିବାକୁ ଯୋଜନା କରୁଛି । ସେମାନେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ୟାକେଟ୍ ପାଇଁ ଏକ ଅନନ୍ୟ ID (ପରିଚୟ ପତ୍ର) କୋଡ଼ ଚାହୁଁଛନ୍ତି । ଯଦି ସେମାନେ 0 – 9 ଅଙ୍କଗୁଡ଼ିକୁ ବ୍ୟବହାର କରିବାକୁ ସ୍ଥିର କରନ୍ତି, ତେବେ କୋଡ଼ରେ କେତୋଟି ଅଙ୍କ ରହିବ ?

10. 64 ଏକ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ($8^2$) ଏବଂ ଘନସଂଖ୍ୟା ($4^3$) ସହ ସମାନ । ଏହିପରି ଅନ୍ୟ କୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ଅଛି କି ଯାହା ଉଭୟ ବର୍ଗ ଓ ଘନ ଅଟେ ? ସାଧାରଣ ଭାବେ ଏହିପରି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ପ୍ରକାଶ କରିବାର କୌଣସି ଉପାୟ ଅଛି କି ?

ଗାଣିତିକ କଥାବାର୍ତ୍ତା

11. ଏକ ଡିଜିଟାଲ ଲକରରେ 5 ଅକ୍ଷର ବିଶିଷ୍ଟ ଆଲଫାନ୍ୟୁମେରିକ୍ (ଏଥିରେ ଉଭୟ ଅଙ୍କ ଏବଂ ଅକ୍ଷର ରହିପାରିବ) ପାସକୋଡ଼ ଅଛି; କୋଡ଼ଗୁଡ଼ିକର କିଛି ଉଦାହରଣ ହେଉଛି G89PO, 38098, BRJKW ଏବଂ 003A2 । ଏହିପରି କେତୋଟି କୋଡ଼ ସମ୍ଭବ ?

12. ସମଗ୍ର ବିଶ୍ୱରେ ମେଣ୍ଢାମାନଙ୍କର ସଂଖ୍ୟା 2024 ମସିହା ପ୍ରାୟ $10^9$ ଏବଂ ଛେଳିମାନଙ୍କର ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରାୟ ସମାନ । ମେଣ୍ଢା ଓ ଛେଳିମାନଙ୍କର ମୋଟ ସଂଖ୍ୟା ନିମ୍ନୋକ୍ତ ବିକଳ୍ପଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ କେଉଁଟି ?

(i) $20^9$ (ii) $10^{11}$ (iii) $10^{10}$ (iv) $10^{18}$ (v) $2 \times 10^9$ (vi) $10^9 + 10^9$

13. ହିସାବ କର ଏବଂ ବୈଜ୍ଞାନିକ ସଂକେତରେ ଉତ୍ତର ଲେଖ ।

(i) ଯଦି ବିଶ୍ୱର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବ୍ୟକ୍ତିଙ୍କ ପାଖରେ 30 ଖଣ୍ଡ ପୋଷାକ ଥାଏ, ତେବେ ମୋଟ ପୋଷାକ ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

(ii) ବିଶ୍ୱରେ ପ୍ରାୟ 100 ନିୟୁତ ମହୁଫେଣା ଅଛି; ଯଦି ପ୍ରତ୍ୟେକ ଫେଣାରେ ପ୍ରାୟ 50,000 ମହୁମାଛି ଥାଆନ୍ତି, ତେବେ ମହୁମାଛି ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

(iii) ମାନବ ଶରୀରରେ ପ୍ରାୟ 38 ଟ୍ରିଲିୟନ୍ ବ୍ୟାକ୍ଟେରିଆ କୋଷ ଅଛି; ପୃଥିବୀରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ମଣିଷଙ୍କ ଶରୀରରେ ଥିବା ବ୍ୟାକ୍ଟେରିଆ ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

(iv) ଜୀବନକାଳରେ ଖାଇବାରେ ବିତାଇଥିବା ମୋଟ ସମୟକୁ ସେକେଣ୍ଡ ଏକକରେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ।

14. 1 ଅରବ / 1 ବିଲିୟନ ସେକେଣ୍ଡ ପୂର୍ବରୁ ତାରିଖ କେତେ ଥିଲା ?

---

ଆମେ କ’ଣ ଶିଖିଲେ

• ଆମେ କେତେକ ପରିସ୍ଥିତିକୁ ବିଶ୍ଳେଷଣ କଲେ, ପ୍ରଶ୍ନ ପଚାରିଲେ ଏବଂ ପ୍ରଥମେ ଅନୁମାନ କରି, ତା'ପରେ ସମସ୍ୟା ଉକ୍ତିଗୁଡ଼ିକର ମଡେଲିଂ କରି ହିସାବ ପାଇଲୁ ।

• ଘାତାଙ୍କୀୟ ବୃଦ୍ଧି ବା ଗୁଣନାତ୍ମକ ବୃଦ୍ଧିକୁ କିପରି ଯୋଗାତ୍ମକ ବୃଦ୍ଧି ସହିତ ତୁଳନା କରାଯାଇପାରିବ ତାହା ଆମେ ଅନୁଭବ କଲେ ।

• $n^a$ ହେଉଛି $n \times n \times n \times n \dots \times n$ ($n$ କୁ $a$ ଥର ନିଜ ସହ ଗୁଣନ କରାଯାଇଛି) ଏବଂ $n^{-a} = \frac{1}{n^a}$

• ଘାତାଙ୍କୀୟ ପ୍ରକ୍ରିୟାଗୁଡ଼ିକ ନିମ୍ନ ପରିପ୍ରକାଶକୁ ବୁଝାଏ ।

• $n^a \times n^b = n^{a+b}$

• $(n^a)^b = (n^b)^a = n^{a \times b}$

• $n^a \div n^b = n^{a-b}$ ($n \neq 0$)

• $n^a \times m^a = (n \times m)^a$

• $n^a \div m^a = (n \div m)^a$ ($m \neq 0$)

• $n^0 = 1$ ($n \neq 0$)

• 308100000 ସଂଖ୍ୟାର ବୈଜ୍ଞାନିକ ସଂକେତ ହେଉଛି $3.081 \times 10^8$, ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟାର ବୈଜ୍ଞାନିକ ସଂକେତର ମାନକରୂପ ହେଉଛି $x \times 10^y$, ଯେଉଁଠାରେ କି $x \geq 1$ ଏବଂ x < 10 ଏବଂ $y$ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ ।

• ଏକ ସଂଖ୍ୟା ବା ପରିମାଣ କେତେ ବଡ଼ ତାହା ବୁଝିବାପାଇଁ ମନୋରଞ୍ଜକ ଭାବନାତ୍ମକ ପରୀକ୍ଷଣ ଗୁଡ଼ିକୁ ବ୍ୟବହାର କରାଯାଇପାରିବ ।

---

ଗୋଲକଧନ୍ଦା ସମୟ !

10 ର ପ୍ରଭାବ

[ଚିତ୍ର ବର୍ଣ୍ଣନା: ଧାଡ଼ି ହୋଇ ବସି ନୋଟବୁକ୍‌ରେ ଗାଣିତିକ ଖେଳ ଖେଳୁଥିବା ଅନେକ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀଙ୍କ ଚିତ୍ର ।]

ଏହି ଖେଳ ଖେଳିବା ପାଇଁ ତୁମେ ଏକ ସାଥୀ ଖୋଜ; 10 ସେକେଣ୍ଡ ମଧ୍ୟରେ କେବଳ 0-9 ଅଙ୍କ ଏବଂ ଗାଣିତିକ ପ୍ରକ୍ରିୟା ଗୁଡ଼ିକର ବ୍ୟବହାର କରି ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ବା ଉକ୍ତି ଲେଖ । ପ୍ରକ୍ରିୟା ଲେଖୁଥିବା ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରୁ ଯିଏ ବଡ଼ସଂଖ୍ୟାଟି ଲେଖିଥିବ, ତାକୁ ବିଜୟୀ ଘୋଷଣା କରାଯିବ ।

$10000000000000$

$999999 \times 999999$

ପ୍ରଥମ ପର୍ଯ୍ୟାୟରେ ରକି ଲେଖିଲା 10000000000000 ଏବଂ ଇତୁ ଲେଖିଲା $999999 \times 999999$ । ଏହି ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରୁ ରକିର ସଂଖ୍ୟା ବଡ଼ । ଏହା କାହିଁକି, ତୁମେ ବୁଝି ପାରୁଛ କି ? ରକିର ସଂଖ୍ୟାଟି $10^{13}$, ଯେତେବେଳେ କି ଇତୁର ସଂଖ୍ୟା $(10^6)^2$ ଠାରୁ କମ୍ ।

ଦ୍ୱିତୀୟ ପର୍ଯ୍ୟାୟରେ ରକି ଲେଖିଲା $10^{1000} + 10^{1000} + 10^{1000} + 10^{1000}$ ଏବଂ ଇତୁ ଲେଖିଲା $(10^{1000000}) \times 9000$ । କେଉଁଟି ବଡ଼, ତୁମେ କହିପାରିବ କି ?

$10^{1000} + 10^{1000} + 10^{1000} + 10^{1000}$

$10^{1000000} \times 9000$

ନିମ୍ନରେ କେତେକ ସର୍ତ୍ତ ଦିଆଯାଇଛି, ଯାହାକୁ ତୁମେ ବିଭିନ୍ନ ପର୍ଯ୍ୟାୟ ପାଇଁ ବ୍ୟବହାର କରିପାରିବ ।

• (i) ଘାତାଙ୍କ ରହିବ ନାହିଁ; କେବଳ ଯୋଗ ପ୍ରକ୍ରିୟା ରହିବ ।

• (ii) ଘାତାଙ୍କ ରହିବ ନାହିଁ; କେବଳ ଯୋଗ ଓ ଗୁଣନ ପ୍ରକ୍ରିୟା ରହିବ ।

• (iii) ଘାତାଙ୍କ ରହିବ; କେବଳ ଯୋଗ ପ୍ରକ୍ରିୟା ରହିବ ।

• (iv) ଘାତାଙ୍କ ରହିବ; ଯେକୌଣସି ଗାଣିତିକ ପ୍ରକ୍ରିୟା ରହିବ ।

ତୁମେ ନିଜର ସର୍ତ୍ତ ତିଆରି କରି ଅଧିକ ଲୋକଙ୍କୁ ଏକାଠି ଖେଳିବା ପାଇଁ ସାମିଲ କରିପାରିବ ।